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離散フーリエ変換を量子回路として効率的に実装できるのはなぜですか？
それはよく知られている結果である離散フーリエ変換（DFT）の数字複雑有すると最もよく知られたアルゴリズムを、一方フーリエ量子状態の振幅の変換を実行します、古典的なQFTアルゴリズム、唯一必要基本ゲート。N=2nN=2nN=2^nO（n 2）O(n2n)O(n2n)\mathcal O(n2^n)O(n2)O(n2)\mathcal O(n^2) これが事実である既知の理由はありますか？これにより、効率的な「量子バージョン」の実装を可能にするDFTの既知の特性があるかどうかを意味します。 実際、次元ベクトル上のDFT は、線形演算 NNNy⃗ =DFTx⃗ ,DFTjk≡1N−−√exp(2πiNjk).y→=DFTx→,DFTjk≡1Nexp(2πiNjk).\vec y=\operatorname{DFT} \vec x, \qquad \text{DFT}_{jk}\equiv \frac{1}{\sqrt N}\exp\left(\frac{2\pi i}{N}jk\right). この問題の「量子バージョン」は、量子状態与えられ|x⟩≡∑Nk=1xk|k⟩|x⟩≡∑k=1Nxk|k⟩|\boldsymbol x\rangle\equiv\sum_{k=1}^N x_k|k\rangle、出力状態を取得するタスクです|y⟩≡∑Nk=1yk|k⟩|y⟩≡∑k=1Nyk|k⟩|\boldsymbol y\rangle\equiv\sum_{k=1}^N y_k |k\rangleよう |y⟩=DFT|x⟩=QFT|x⟩.|y⟩=DFT|x⟩=QFT|x⟩.|\boldsymbol y\rangle=\operatorname{DFT}|\boldsymbol x\rangle=\operatorname{QFT}|\boldsymbol x\rangle. 最初の単純化は、QMの線形性のために、一般ベクトルの進化により、基底状態|j⟩,j=1,...,N|j⟩,j=1,...,N|j\rangle, \,\,j=1,...,Nに焦点を当てることができるという事実に由来するようです。|x⟩|x⟩|\boldsymbol x\rangleは無料で提供されます。 もしN=2nN=2nN=2^n、1で表現することができます|j⟩|j⟩|j\rangleベース2、持つ中|j⟩=|j1,...,jn⟩|j⟩=|j1,...,jn⟩|j\rangle=|j_1,...,j_n\rangle。 標準のQFTアルゴリズムでは、変換が| j_1、...、j_n \ rangle \ to2 ^ {-n / 2} \ bigotimes_ {l = 1} ^ n \ …