畳み込みのための量子アルゴリズム

私は機械学習のための量子コンピューティングのアプリケーションを調べていて、2003年から次のプレプリントに出会いました。量子コンボリューションと相関アルゴリズムは物理的に不可能です。記事はどのジャーナルにも掲載されていないようですが、数十回引用されています。

記事の著者は、量子状態に対して離散畳み込みを計算することは不可能であると主張しています。量子行列乗算を実行できることを知っているので、これは私には直感的には思えません。離散たたみ込みは、テプリッツ（または循環）行列との乗算として単純に組み立てることができることを知っています。

彼の議論の要点は、2つのベクトルの要素ごとの（アダマール）積のユニタリー演算子の実現可能な構成がないことです。

切断はどこにありますか？量子コンピューターで離散畳み込み用のテプリッツ行列を一般的に構築できない理由はありますか？

または、記事は単に正しくありませんか？著者が彼の補題14の証明に示している矛盾に取り組んできましたが、それは私には理にかなっているようです。

入力信号が特定の構造を持っている場合は、実際に量子コンピューターで畳み込みを実行できます（さらに言えば、指数関数的に高速です）。しかし、一般的な入力については、これは挑戦的であり、おそらく物理的に不可能でさえあるようであり、それは論文が主張しているようです。

2つの離散信号と畳み込みを古典的に計算する方法を検討してください。両方の信号をフーリエ変換し、結果のベクトルを点ごとに乗算してから、逆フーリエ変換を実行できます。$f$$g$

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

フーリエ変換は、量子コンピューターでは非常に安価な操作です。これは素晴らしいようです。問題は、2つのベクトルの点ごとの乗算がそれほど簡単ではないことです。それを決定する要因を見てみましょう。

幸運で、のフーリエスペクトルがフラットであることがわかったとします F = F（f ）= $f$

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

その場合、量子コンピューターは対角行列演算を実行して、点ごとの乗算を行うことができます：

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

ただし、2つのベクトルの点ごとの乗算を見つける量子アルゴリズムは、一般的なケースでは物理的に不可能である場合があります。これは、この操作が一般的に単一ではないためです。簡単な例として、のフーリエ変換がほとんどの場所にゼロがあるスパイク関数であるとします。$f$

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$ この状態と別の状態の点ごとの乗算状態は（ゼロのため）不可逆であり、したがって単一ではありません。

フーリエスペクトルがフラットまたはフラットに近くなるように機能し、そのため畳み込みが容易な関数を発見する以前の研究がありました。

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

その結果は非常に疑わしい。定理16を見ると、 正規化までのマップを達成する操作がないと主張してい ます。ただし、測定演算子考慮してください これにより、（特定の測定結果に対して）望ましいマップが明確に実装されます。さらに、その実装は非常に簡単です。をマッピングできる単一の（事実上、一般化された制御されたnot） ため、2番目のスピンを測定し、0の結果を取得するために後選択を行います。これは論文の証明を無効にするように思われるでしょう。P= Σ I | 私⟩⟨II| 。| 私私⟩↦| I0⟩

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$