画鋲としてのShor / QFT変換の簡単な説明

非数学者/ソフトウェアプログラマーとして、QFT（量子フーリエ変換）のしくみを理解しようとしています。

このYouTubeビデオをフォロー：https : //www.youtube.com/watch?v=wUwZZaI5u0c

そして、このブログ投稿：https ://www.scottaaronson.com/blog/?p=208

干渉を使用して周期を計算/構築する方法についての基本的な理解があります。しかし、これを同僚に説明しようとしたときに問題が発生しました。次の例、N = 15、a = 7を使用したので、検索する必要がある期間はr = 4です。

パターンは次のとおりです。 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1 (etc)

ホイール（YouTubeビデオのような）または時計（ブログポストのような）を想像すると、4ドット/時計の4時間の円は建設的なパターンを作成し、他の人はそうではないことがわかります。

しかし、2ドットの円、または2時間の時計では、4と同じ大きさ/構成パターンになるでしょうか。2倍の速度でループしますが、それ以外は同じ結果ですか？

QFTはこれにどのように対処しますか？

（ボーナス：あまり複雑な数学を使わずに素人の言葉で説明できますか？）

この質問に対して、型破りな答えを出してみましょう。

As a non-mathematician/software programmer I'm trying to grasp
how QFT (Quantum Fourier Transformation) works.

キュビットを操作できる量子コンピューターがあるとします。このような量子コンピューターの量子状態は、この量子コンピューターの現在の状態を正確に表します。この量子状態を2 nの複素数のベクトルとして表現できることはよく知られています。これらの複素数をコンパクトに視覚化してみましょう。$n$$2^n$

そのために、ポイントが描かれた水平線を考えます。それらは、線上のそれぞれの位置に対応してラベル付けされます。つまり、最初の点は|でラベル付けされます。0 ⟩、そして最後のポイントはにより標識されました| 2 N - 1 ⟩。これは下の写真で確認できます。$2^n$$|0\rangle$$|2^n-1\rangle$

$1$$2^n$

$n$$n$$\times$$1$$1$

$\times$

$3$$3$

$3$$|0\rangle$$1$$|0\rangle$

問題は、量子フーリエ変換を適用すると、量子状態がどうなるかです。上記の状態に量子フーリエ変換を適用すると、量子システムの結果の状態は次のようになります。

ここでは、便宜上、マークされたすべてのポイントを通る赤い破線を追加しました。マークされたすべての点は、円のまったく同じ場所、つまり中心点の高さ真上にあります$1/\sqrt{8}$

$|1\rangle$

ここで、量子フーリエ変換を適用すると、結果の状態は次のようになります。

結果の状態が何らかのらせん形状になることがわかります。さらに、右端の状態の右側に円を1つ追加すると、らせんは1回転だけ完了します。

$|j\rangle$$j$$|3\rangle$

$3$

$j$$|j\rangle$

ショーのアルゴリズムの重要な要素であるのはこの考えです。中心的な考え方は、あなたが説明する一連の数字を取ることです：

7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1, 7, 4, 13, 1 (etc)

$|4\rangle$

注1：最後の段落でスキップした詳細はたくさんあります。この回答にはすでに多くの情報が含まれていますが、これらの詳細を画像に追加する前に、情報を理解する必要があります。誰かが私にこれらの詳細を追加してほしいと思ったら、私は後の段階でそうするかもしれません。

$2^n$

あなたの例では、パターンはモジュラー乗算関数または回路によって作成されますf（x）= ax（mod N）この量子回路とパターンは、IBM Q Experienceの IBM Qマニュアルにも記載されています。

したがって、開始入力x = 1のループで

x = 1 f（x）= 7 * 1（mod 15）= 7

x = 7 f（x）= 7 * 7（mod 15）= 4

x = 4 => 13

x = 13 => 1

パターン1 7 4 13 1は4回ごとに繰り返されます。したがって、回路は指定されたaおよびmod 15に対して固定され、常にr = 4を返します。r= 2が必要な場合は、別の乗数関数が必要です。