ショーのアルゴリズムで量子フーリエ変換が必要なのはなぜですか？

私は現在Shorのアルゴリズムを研究していて、複雑さの問題について混乱しています。私が読んだことから、Shorのアルゴリズムは因数分解の問題を、ようないくつかのランダムの次数発見問題またはモジュラー指数シーケンスの期間に削減します。$x$$1 < x < N$

アルゴリズムの考え方は問題ありません。しかし、Shorのアルゴリズムが（古典的には効率的な方法である）二乗を繰り返すことによってそのようなシーケンスを作成するかどうか疑問に思っています。私の理解では、「効率的」という用語は、アルゴリズムの複雑さが時間とともに多項式であることを意味します。

古典的にシーケンスを作成する効率的な方法があるとすると、遭遇したかどうかの小さなチェックを追加することはできませんか？作成プロセス中に、それは複雑さを指数関数時間に増加させるべきではありませんよね？$x^{r} = 1 \ \text{mod} N$

なぜ量子フーリエ変換を気にする必要があるのですか？何か誤解しましたか？

この問題の本質的な特徴は、量子アルゴリズムと古典アルゴリズムの両方がk  mod  Nを計算$a^k\text{ mod }N$効率的な古典関数を利用できる一方で、問題はそれぞれが関数を評価しなければならない回数です。

あなたが示唆している古典アルゴリズムについて、あなたは計算したい のmod  N、および2  のmod  N、および3  のmod  Nを使用すると、繰り返し値をヒットするまで、ように、と。r評価を実行する必要があり、rは非常に大きくなる可能性があります。確かに、それはO （N ）かもしれません。古典的なアルゴリズムのこのアイデアを無効にするのは、この多数の繰り返しです。$a\text{ mod }N$$a^2\text{ mod }N$$a^3\text{ mod }N$$r$$r$$O(N)$

比較すると、量子アルゴリズムは次数を一度だけ評価します。これらの値すべてに一度にアクセスすることはできないため、同時に計算されたすべての値を比較できるようにするには、量子フーリエ変換が必要です。QFTはすべての魔法を実行します。

古典的にシーケンスを作成する効率的な方法があるとすると、$x^{r} = 1 \ \text{mod} N$遭遇したかどうかのチェックを少し追加することはできませんか？作成プロセス中に、それは複雑さを指数関数時間に増加させるべきではありませんよね？

なぜ量子フーリエ変換を気にする必要があるのですか？何か誤解しましたか？

上記の質問に対する答えは、この期間を（多項式の複雑さで）効率的に見つけることができる既知の古典的（非量子）アルゴリズムは存在しないということです。つまり、$x = 2^r_{1} \ \text{mod} N$ような関数の周期を見つけるための効率的な古典的なアルゴリズムはありません。それは、そのような古典的なアルゴリズムが存在しないと言っているのではありません。そのような古典的なアルゴリズムを誰も知らないというだけです。

古典的な離散フーリエ変換は指数関数的な複雑さを持っていますが、そのフーリエ変換の量子バージョンは多項式の複雑さを持っています。したがって、量子フーリエ変換に悩まされる必要があります。