量子位相推定アルゴリズムで「フェーズキックバック」メカニズムが機能するのはなぜですか？

おそらく量子フーリエ変換とその応用の章を読んだでしょう。ニールセンとチュアン（10周年記念版）、これは当たり前のことでしたが、今日、もう一度見たとき、私にはまったく明らかなようです！

位相推定アルゴリズムの回路図は次のとおりです。

キュビットを持つ最初のレジスタは、おそらく「制御レジスタ」です。最初のレジスタのキュービットのいずれかが状態にある場合対応する制御ユニタリゲートは第2のレジスタに適用されます。状態の場合それはに適用されません第2のレジスタ。2つの状態の重ね合わせの場合と $t$ $|1\rangle$ $|0\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ 2番目のレジスターの対応するユニタリーのアクションは、「線形性」によって決定できます。すべてのゲートが2番目のレジスタにのみ作用し、最初のレジスタには作用しないことに注意してください。最初のレジスタは、コントロールのみであることになっています。

ただし、最初のレジスタの最終状態は次のように示されます。

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

アダマールゲートの動作後、キュービットの最初のレジスタの状態に変化があると考える理由に私は驚いています。最初のレジスタの最終状態は、

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}^{\otimes t}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t}$

だよね？これは、最初のレジスタがコントロールのみであることを前提としているためです。コントロールとして機能するときに、最初のレジスタの状態がどのようにまたはなぜ変化するのか理解できません。

最初、指数因子を最初のレジスタのキュービット状態の一部と見なすことは数学的便宜に過ぎないと考えていましたが、それでは意味がありませんでした。キュービットまたはキュービットのシステムの状態は、数学的に何が便利かには依存すべきではありません。

それでは、キュービットの最初のレジスタが単に2番目のレジスタの「コントロール」として機能する場合でも、最初のレジスタの状態が正確に変化する理由を誰かが説明できますか？それは単に数学的な都合ですか、それとももっと深いものがありますか？

— サンチャヤンドゥッタ
ソース

答えではありませんが、実際の状態の変化を表さない場合、「数学的な便宜」とはどういう意味でしょうか。数学は量子状態がどのように変化するかを正確に説明するか、またはしません。そうでない場合は、この1つの例よりも大きな問題があります。数学が物理学を正確に説明していると仮定する場合、数学的表現は単に便利ではありません。（恐怖の引用符で囲まれた）「制御」ワイヤの状態は、このサブルーチンで実際に変化します。理由について混乱しても大丈夫ですが、最初に、それらが変化することを受け入れる必要があります。

— Niel de Beaudrap

：数学は、この回答で説明した正確であるquantumcomputing.stackexchange.com/a/1791/1837が、その状況は単純であり、理解し、おそらくより簡単に

— DaftWullie

@NieldeBeaudrapさて、私の質問は、まさに「なぜ」それが変化することです

— Sanchayan Dutta

@DaftWullie数学は難しく見えません。制御された

ゲートの簡単な例を見てみましょう。制御レジスターが状態にある場合

、それが適用されます

に与える

。しかし、彼らはの指数因子ことを検討している

、すなわち第1のレジスタに制御キュービットの要因であると

U^{2^{0}}

$U^{2^0}$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

| u ⟩

$|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ) | u ⟩

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

、2番目のレジスタではありません。私の質問は、なぜそうなのかです。

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

— Sanchayan Dutta

cc @NieldeBeaudrap ^

— Sanchayan Dutta

回答:

固有ベクトルがあると想像してくださいの。ような状態の場合とあなたが制御型適用あなたが出て、それに。フェーズは特定のレジスターに関連付けられているのではなく、単に全体的な乗法因子です。 $|u\rangle$ $U$ $|1\rangle|u\rangle$ $U$ $e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

今度は、最初のレジスタ上の重ね合わせを使用してみましょう：あなたはこれを書き換えることができます

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | u ⟩ \mapsto | 0 ⟩ | u ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩ | u ⟩

$(|0\rangle+|1\rangle)|u\rangle\mapsto |0\rangle|u\rangle+e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

(| 0 ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩) | u ⟩

$(|0\rangle+e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle$ そのため、2番目のレジスターで作成されたものの、最初のレジスターに表示されます。（もちろん、その解釈は、両方のキュービットに作用する2キュービットゲートによって作成されたため、完全には当てはまりません）。

このステップは、多くの量子アルゴリズムの中心です。

なぜ我々は書いていませんとちょうどそれが分離可能ではないことを主張しますか？ $|\Psi\rangle=|0\rangle|u\rangle+|1\rangle(e^{i\phi}|u\rangle)$

それを主張することはできませんが、数学的に示す必要があります。例えば、我々は、第二量子ビット、オーバー部分トレース取ることができます部分的なトレースを取るために、合計する基礎を選択します。簡単にするため、どこ

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = {Tr}_{B} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | + | 1 ⟩ ⟨ 0 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | + | 0 ⟩ ⟨ 1 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ})

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=\text{Tr}_B(|0\rangle\langle 0|\otimes |u\rangle\langle u|+|1\rangle\langle 0|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|+|0\rangle\langle 1|\otimes |u\rangle\langle u|e^{-i\phi}+|1\rangle\langle 1|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|e^{-i\phi})$

{| u ⟩, | u^{⊥} ⟩}

$\{|u\rangle,|u^\perp\rangle\}$

⟨ u | u^{⊥} ⟩ = 0

$\langle u|u^\perp\rangle=0$ そして、

。そして、あなたが得る

⟨ u | (e^{i ϕ} | u ⟩ = e^{i ϕ}

$\langle u|(e^{i\phi}|u\rangle=e^{i\phi}$

これはランク1（フェーズが最初のレジスターに表示されていることがわかります）なので、状態は絡まっていません。分離可能です。

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e^{- i ϕ} | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=|0\rangle\langle 0|+e^{i\phi}|1\rangle\langle 1|+e^{-i\phi}|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 1|$

— DaftWullie
ソース

| 0 ⟩ (| u ⟩) + | 1 ⟩ (e^{i ϕ} | u ⟩)

$|0\rangle(|u\rangle) + |1\rangle (e^{i\phi}|u\rangle)$

e^{i ϕ}

$e^{i\phi}$

「もつれた」をどのように定義しますか？いかなる定義により、これはもつれません。たとえば、部分的なトレースを実行してみてください。さらに、さまざまなコンポーネントでそのフェーズを保持する場合と比較して、式全体からグローバルフェーズを削除することで、通常は問題がないと思いますか？

— DaftWullie

A

$A$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta }|0\rangle)_B$

(| 0 ⟩)_{A} \otimes (e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(|0\rangle)_A\otimes (e^{i\theta}|0\rangle)_B$

e^{i θ} (| 0 ⟩)_{A} \otimes (| 0 ⟩)_{B}

$e^{i\theta}(|0\rangle)_A\otimes (|0\rangle)_B$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{A}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_A$

| 0 ⟩_{B}

$|0\rangle_B$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_B$

私はそのような「グローバルフェーズ」の周りのシフトに問題があると思います。今まで考えたことはなかった。

— Sanchayan Dutta

物理的な違いはありません。このように考えてください。2つを区別するためにどのような実験を行いますか？物理的な違いがある場合は、それらを区別する方法が必要です。

— DaftWullie

最初の発言

いくつかの状況で状態を変化させる「制御」キュービットのこの同じ現象は、制御されたNOTゲートでも発生します。実際、これは固有値推定の根拠です。したがって、それが可能であるだけでなく、それが可能であることは量子計算についての重要な事実です。それは「フェーズキック」という名前さえ持っています。「フェーズキック」では、ターゲットレジスタに対する何らかの操作を通じて作用した結果として、制御キュビット（より一般的には、制御レジスタ）が相対位相を発生させます。 $\def\ket#1{\lvert#1\rangle}$

これが起こる理由

なぜこれが当てはまるのですか？基本的には、標準的な基準は、実際にあると説明するほど重要ではないという事実に帰着します。

短縮版。 制御キュービットの標準基底状態のみが影響を受けません。制御キュビットが標準基底状態ではない状態にある場合、原理的には変更することができる。

長いバージョン—

ブロッホ球を考えてみましょう。結局のところ、それは球体であり、完全に対称であり、1つの点が他よりも特別なものはなく、1つの軸は他よりも特別なものはありません。特に、標準ベースは特別なものではありません。

| 00 ⟩ \to [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

$\ket{00} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$

C N O T \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] .

$\mathrm{CNOT} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\,.$ CNOT行列あると言います。

$\{0,1\}$ 列ベクトル。

$\{0,1\}$

\begin{aligned} | + + ⟩ \to & [1 0 0 0]^{†}, \\ | + - ⟩ \to & [0 1 0 0]^{†}, \\ | - + ⟩ \to & [0 0 1 0]^{†}, \\ | - - ⟩ \to & [0 0 0 1]^{†} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \ket{++} \to{}& [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{+-} \to{}& [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{-+} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{--} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \,]^\dagger \,. \end{aligned}$

| 00 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] .

$\ket{00} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,.$

$H \otimes H$ $\ket{++} = [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $\ket{+-} = [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $X$ $Z$ が共役によってオブザーバブルを。

\begin{aligned} C N O T \to \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT} \to \tfrac{1}{4}{}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} }\, = \,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned}$

X

$X$

\begin{aligned} C N O T | + + ⟩ & = | + + ⟩, \\ C N O T | + - ⟩ & = | - - ⟩, \\ C N O T | - + ⟩ & = | - + ⟩, \\ C N O T | - - ⟩ & = | + - ⟩ . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT}\,\ket{++} &= \ket{++} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{+-} &= \ket{--}, \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{-+} &= \ket{-+} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{--} &= \ket{+-} . \end{aligned}$

これで、参照フレームの変更に関するこの話をすべてしなくても、これと同じことをはるかに迅速に示すことができました。コンピュータサイエンスの量子計算入門コースでは、「リファレンスフレーム」という言葉に言及せずに、同様の現象を説明する場合があります。しかし、私は単なる計算以上のものをあなたに与えたかったのです。CNOTは原則として単なるマトリックスではないという事実に注意を向けたかったのです。標準ベースは特別なベースではないこと。そして、これらのことを取り除くと、CNOTがキュービットに対して実行している唯一のことであっても、CNOTによって実現される操作が明らかに制御キュービットの状態に影響を与える可能性があることが明らかになります。

「制御」キュービットがあるというまさにその考えは、標準に基づいたものであり、操作を一方的なものと考えるように誘うキュービットの状態についての偏見を埋め込んでいます。しかし、物理学者として、あなたは一方的な操作に深く疑いを持つべきです。すべての行動に対して、等しく反対の反応があります。ここで、標準ベースの状態でのCNOTの見かけの片側性は、X固有基底状態の場合、「コントロール」の状態変化の可能性を一方的に決定するのは「ターゲット」であるという事実によって裏付けられます。

あなたは、表記法の選択を含む、数学的便宜に過ぎない何かが遊びにあったかどうか疑問に思いました。実際、次のようなものがあります。標準ベースに重点を置いて州を記述する方法。これにより、標準ベースでのみ操作の非数学的な直観を発達させる可能性があります。しかし、表現を変えれば、その非数学的な直感はなくなります。

X固有基底状態へのCNOTの影響についてスケッチしたのと同じことが位相推定でも行われていますが、CNOTとは異なる変換が行われているだけです。「ターゲット」キュービットに格納された「フェーズ」は、「コントロール」キュービットにキックアップされます。これは、ターゲットが最初のキュービットによってコヒーレントに制御されている操作の固有状態にあるためです。量子計算のコンピュータサイエンスの面では、これはこの分野で最も有名な現象の1つです。それは私たちに、標準的な基礎は私たちがデータを記述するのに好むものであるという点で特別なだけであるという事実に直面することを強いますが、物理学自体がどのように動作するかではありません。

— ニール・ド・ボードラ
ソース

-1

すばらしい質問です。
私も一度これを尋ねましたが、それは単に数学的な都合の問題ではありません。
制御されたUは「もつれ」ゲートです。
絡み合いが発生すると、状態を「第1レジスタ」と「第2レジスタ」に分離できません。
これらのレジスターは、最初に、またはもつれがない場合にのみ個別に考えてください。もつれが生じた後の最善の策は、数学（行列の乗算）を徹底的に実行することです。実際に、ニールセンとチュアンによって与えられた状態を取得します。

質問に賛成票を投じようとしていますが、評判が15になるまで待つ必要があります。

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

| u ⟩

$|u\rangle$

@Blue自分でコンセプトを理解するのは難しいと思うので、私はそれを完全な回答として記述していません。いずれにせよ、これは「フェーズキックバック」現象によるものであり、実際にはコントロールが原因でもあります。とターゲットはやや絡み合っています。Moscaの博士論文のセクション2.2を読んでみてください。これは、これまでに見つけた中で最も良い説明です。

— FSic 2018

@ F.Sicilianoわかりました、ありがとうございます。私はそれを読むつもりです

— サンチャヤンDutta