単純な無向グラフでのランダムウォークと平均打撃時間
ましょうG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)上の単純無向グラフであるnnn頂点とmmmエッジ。 Gのランダムスパニングツリーを生成するためのウィルソンアルゴリズムの予想実行時間を決定しようとしています。、それがあることが示されているO （τ ）ここで、τは、ある平均打撃時間：τ = Σ V ∈ V π （V ）⋅ H （U 、V ）、ここで：GGGO(τ)O(τ)O(\tau)ττ\tauτ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),τ=∑v∈Vπ(v)⋅H(u,v),\tau = \sum_{v \in V} \pi(v) \cdot H(u, v), ππ\piは定常分布です π(v)=d(v)2mπ(v)=d(v)2m\pi(v)=\frac{d(v)}{2m}、 uuuは任意の頂点であり、 H(u,v)H(u,v)H(u,v)は、ヒット時間（AKAアクセス時間）です。つまり、頂点 uから始まり、頂点アクセスするまでの予想ステップ数です。vvvuuu 平均打撃時間の一般的な上限は何ですか？そして、平均打撃時間を最大化する最悪の場合のグラフは何GGGですか？ 私の質問を明確にするために、私は計算や詳細な証明を必要としません（将来的にこの質問に遭遇する他の人々にとって役立つかもしれませんが）。個人的には、引用で十分です。 この論文では、予想されるカバー時間（すべての頂点を訪れた最初の時間）で機能するBroderの別のアルゴリズムについて言及しています。そして、平均打撃時間は常にカバータイムよりも短いと言われています。しかし、それだけで拘束さ漸近与えΘ （n個）のための最もグラフ（すなわち、エクスパンダグラフでそれを対比する）Θ （nはログN ）（幾分より包括的な定義に最もグラフのブローダーによってほとんどを）。Θ(n)Θ(n)\Theta(n)Θ(nlogn)Θ(nlogn)\Theta(n \log n) これは、平均打撃時間が、カバー時間がΘ （n 3）であるグラフの例を示しています。これは後者の最悪のケースであることが知られているが、彼は前者の最悪のケースについて特に何も述べていません。これは、ウィルソンのアルゴリズムの最悪のケースがO （n 2）とO （n 3）の間のどこかに入る可能性があることを意味します。Θ(n2)Θ(n2)\Theta(n^2)Θ(n3)Θ(n3)\Theta(n^3)O(n2)O(n2)O(n^2)O(n3)O(n3)O(n^3) 私が知っているウィルソンのアルゴリズムの2つの公的に利用可能な実装があります。1つはBoost Graph Libraryにあり、もう1つはgraph-toolにあります。前者のドキュメンテーションは実行時間について言及していませんが、後者は述べています： ランダムグラフの一般的な実行時間はです。O （n ログn …