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CGのテストケースを実行しようとしていましたが、以下を生成する必要があります。 対称正定行列 サイズ> 10,000 フルデンス 行列インデックスのみを使用し、必要に応じて1つのベクトル（A(i,j)=x(i)−x(j)(i+j)A(i,j)=x(i)−x(j)(i+j)A(i,j) = \dfrac{x(i) - x(j)}{(i+j)}） 条件番号が1000未満。 私が試してみました： を使用A=rand(N,N)してランダム行列を生成し、それA'AをSymにします。PD。[これにより条件数が増加します] 示されているようにベクトルのアプローチを使用しますが、(x,i,j)SymとPDを確実にする関数を取得できないようです。 多くの実験の後、私は思いつきました： a(it,jt) = (vec(it)+vec(jt))/((it-1)^2+(jt-1)^2);もしit≠jtit≠jtit \neq jt a(it,it) = x(it)もしit=jtit=jtit=jt しかし、これは約500x500までのPDです。 XLATMR。[すべてのグレーディングとスケーリングでは、理解するのが難しすぎます。特に、基礎となる線形代数が理解できないため] 誰かが上記の要件を満たすx（ベクトル）とi、j（指数）の関数をくれますか？

8 linear-algebra 

線形システムを、共役勾配法やリチャードソン反復法などの反復法で解くとします。次に、マトリックスと右側でわずかに摂動がある線形システムを解こうとします。たとえば、です。〜A 〜U = 〜FA u = fAu=fAu = fあ〜あなた〜= f〜A~u~=f~\tilde A \tilde u = \tilde f 反復法の開始値として古いソリューションを使用することは意味がありますか？「意味をなす」とは、反復法の実行時間に信頼できる利得があることを意味します。これは、アドバイスされた実践と見なすことができるほど、一般に改善につながるのだろうか。あなた〜0= uu~0=u\tilde u_0 = u 私が考えているアプリケーションは、適応有限要素から来ています。粗いグリッドで解を計算し、より細かいグリッド（適応法に基づいて生成された可能性がある）で解を見つけたい場合、任意の反復アルゴリズムの開始値は、より細かいグリッドに。同様に、非線形問題の解法に関与するニュートン法またはピカール反復法は、それがまったく意味をなさない場合、その方法で「ブースト」することができます。〜U Uあなたuuあなた〜u~\tilde uあなたuu

8 linear-algebra  finite-element  linear-solver 

私の初期の「数値」講義から、反復線形ソルバーでは、Aが次のように分解されるときに、Ax=bAx=bAx=bAAA A=D+MA=D+MA=D + M ここで、Dは対角行列で、対角行列はゼロです。反復ソルバーが適切に実行するには、Dの要素がMのエントリよりも支配的である必要があります。MMMDDDMMM そうでない場合、のエントリが本当に小さくなった場合はどうなりますか？DDD その場合、直接ソルバーを使用する必要がありますか？ より具体的には、私が解決したい線形システムには、行列 が含まれます。ここで、非対角部分は一定ですが、対角部分はパラメーターωに依存します。これまでのところ、各ω に対してA （ω ）x = bを新たに解く方法は見当たらない。A(ω)=D(ω)+MA(ω)=D(ω)+MA(\omega) = D(\omega) + Mωω\omegaA(ω)x=bA(ω)x=bA(\omega) x = bωω\omega 対角のエントリの形式はZ jは、一方我々はしている行に依存するいくつかの実数であるηが非常に小さい収束係数であり、iは虚数単位です。数値的不安定性へのこのリードときでしω + Z ≈ 0？Ajj=ω+zj+iηAjj=ω+zj+iηA_{jj} = \omega + z_j + i\etazjzjz_jηη\etaiiiω+z≈0ω+z≈0\omega + z \approx 0 A(ω)A(ω)A(\omega)ηη\eta000A(ω)A(ω)A(\omega)ηη\eta101010

8 linear-algebra  sparse-matrix 

私はこの答えを読み、固有値/ベクトルを見つける反復法の停止基準を定義するために、逐次反復間の違いを使用していることに気付きました。 固有値と固有ベクトルに収束する反復法の良い停止基準は何ですか？

8 linear-algebra  eigensystem  iterative-method 

特異値分解を使用してシステムを解いています。特異値（スケーリング前）は次のとおりです。 1.82277e+29 1.95011e+27 1.15033e+23 1.45291e+21 4.79336e+17 7.48116e+15 8.31087e+12 1.71838e+11 5.63232e+08 2.17863e+08 9.02783e+07 1.72345e+07 1.73889e+05 8.09382e+02 2.16644e+00 すべての特異値と、それに関連する私のソリューションベクトルへの寄与を受け入れると、結果が悪くなることがわかりました。すべてを最大数でスケーリングし、次の特異値を生成します。 1.0 1.06986e-02 6.31091e-07 7.97089e-09 2.62971e-12 4.10428e-14 4.55948e-17 9.42732e-19 3.08998e-21 1.19523e-21 4.95281e-22 9.45510e-23 9.53980e-25 4.44040e-27 1.18854e-29 最善の解決策は、私が最後の二つが含まれている場合に悪くなり始めると、わずか約良好となる10−1910−1910^{-19}用語。 最後の2項を含めると、精度が大幅に低下します。何故ですか？特異値を含める/含めないための基準は何ですか？ m×nm×nm \times nm≫nm≫nm \gg nA⋅X=BA⋅X=BA\cdot X = BAAAA⊤AX=A⊤XA⊤AX=A⊤XA^\top A X = A^\top X 私のソリューションへの回答は、ノイズの多いデータをどれだけよく近似しているかで判断しています。 また、「良好」な適合であっても、ゼロに近いとうまく適合しないことにも気づきました（データの範囲はから10です）。何故ですか？−10−10-10101010

8 linear-algebra  regression  svd 

私の質問は、おそらく一般的すぎて2、3語では答えられないでしょう。その場合、良い読書を提案していただけませんか。投影法は、問題の解空間のサイズを縮小するために使用されます。そして、少なくとも2つの非常に興味深いアプリケーションがあります（私の観点から）。1つ目は連続体力学問題（Finite Element、Ritz法）の解法であり、2つ目は線形方程式系（Krylov部分空間法）の解法です。 問題は次のとおりです。すべてのアプリケーションで投影法を研究する理論または分析の一部はありますか？もしそうなら、有限体積法のような他の方法をこの出発点から構築できますか？ 私は大学でFEAを勉強しましたが、現時点では、離散近似はすべて、特定のケースで使用できる分離された「ツール」のセットのようなものです。ありがとう。

8 linear-algebra  finite-element  discretization 

どのようにしてシューア補数を計算できますか？ S= Kb b− Kb aK− 1aaKabS=Kbb−KbaKaa−1Kab S = K_{bb} - K_{ba} K_{aa}^{-1} K_{ab} どこ K=(KaaKbaKabKbb)K=(KaaKabKbaKbb） K=\begin{pmatrix} K_{aa} & K_{ab} \\ K_{ba} & K_{bb} \end{pmatrix} （いくつかの順序で）PETSc行列（Mat）ですか？

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