非対称の非対角的に支配的なスパースシステムを最善の方法で解く

私の初期の「数値」講義から、反復線形ソルバーでは、Aが次のように分解されるときに、$Ax=b$$A$

ここで、Dは対角行列で、対角行列はゼロです。反復ソルバーが適切に実行するには、Dの要素がMのエントリよりも支配的である必要があります。$M$$D$$M$

そうでない場合、のエントリが本当に小さくなった場合はどうなりますか？$D$

その場合、直接ソルバーを使用する必要がありますか？

より具体的には、私が解決したい線形システムには、行列 が含まれます。ここで、非対角部分は一定ですが、対角部分はパラメーターωに依存します。これまでのところ、各ω に対してA （ω ）x = bを新たに解く方法は見当たらない。

対角のエントリの形式はZ jは、一方我々はしている行に依存するいくつかの実数であるηが非常に小さい収束係数であり、iは虚数単位です。数値的不安定性へのこのリードときでしω + Z ≈ 0？$A_{jj} = \omega + z_j + i\eta$$z_j$$\eta$$i$$\omega + z \approx 0$

$A(\omega)$$\eta$$0$$A(\omega)$$\eta$$10$

どの方法が機能するかについてはいくつかの制限がありますが、対角線の優位性や対称性の欠如は本質的に破滅的ではありません。ただし、これらのプロパティは一般に、非局所的影響のより困難な問題と粗大化の困難に関連付けられており、多くの「ブラックボックス」ソルバーは機能しません。より具体的な方法で質問に回答するには、この特定のシステムの詳細（物理学、離散化、パラメーター体制）を知る必要があります。

私の実際的な提案は、直接ソルバーから始めて、必要な場合にのみ反復ソルバーを掘り下げることです。特定の困難な問題に対して強力な反復ソルバーを開発するキャリアを費やすことができます。

対角ドミナントマトリックスは、ガーシュゴリンの定理により、すべて正（対角要素のエントリがすべて正の場合）またはすべて負（エントリがすべて負の場合）の固有値を持つことが保証されます。ほとんどの反復法は、反復行列の固有値が複素平面の特定の領域にある場合にのみ機能するため、対角線の優位性により、すべての固有値が厳密に正または完全に負の実数部分を持つ（またはすべての固有値が特定の半径の特定の半径）。

$A(\omega)$

あなたのシステムはどのくらい大きい/疎ですか？これを繰り返し解決する必要がありますか？

スパースソルバーを使用してMatlabまたはOctaveで解くことをお勧めします（「スパース」を使用してマトリックスを初期化してからバックスラッシュを使用してください）。それでうまくいく場合は、UMFPACKを直接使用してください。これは、MatlabとOctaveがスパースソルブに内部的に使用するものです。