私の質問は、おそらく一般的すぎて2、3語では答えられないでしょう。その場合、良い読書を提案していただけませんか。投影法は、問題の解空間のサイズを縮小するために使用されます。そして、少なくとも2つの非常に興味深いアプリケーションがあります（私の観点から）。1つ目は連続体力学問題（Finite Element、Ritz法）の解法であり、2つ目は線形方程式系（Krylov部分空間法）の解法です。
問題は次のとおりです。すべてのアプリケーションで投影法を研究する理論または分析の一部はありますか？もしそうなら、有限体積法のような他の方法をこの出発点から構築できますか？
私は大学でFEAを勉強しましたが、現時点では、離散近似はすべて、特定のケースで使用できる分離された「ツール」のセットのようなものです。ありがとう。
回答:
ガラーキンアプローチ（残差が別の与えられた部分空間Vに直交するように与えられた部分空間からの近似を求める）は、非常に一般的です（そして有限次元空間に限定されません）。偏微分方程式の数値解のコンテキストでは、UとVが満たさなければならない基本的に2つの条件があります。
とVの次元が増加するにつれて、離散化誤差は小さくなる必要があります。これには、部分空間の特定の近似プロパティが必要です。通常、区分的な多項式のスペースを使用しますが（標準の有限要素法の場合と同様）、他の選択も可能です（たとえば、スペクトル法）。（同様に、線形システムの投影法は、近似特性を備えているため、クリロフ空間に基づくことがよくあります。）
実際、（一部の）有限体積法は、不連続なガラーキン法（やVが区分定数関数で構成されている場合）として説明できます。
有限要素法に関する最新の数学的教科書は、このアプローチに従います。2つの良い例は
（混合およびハイブリッド有限要素や不連続ガラーキン法を含むガラーキン法への非常に一般的なアプローチを取るので、私は特に後者が好きです。）
線形システムの場合、射影アプローチの一般的な説明は、Saadの本に記載されています。
微分方程式の解法については、Crandall（1956）によって作成され、Finnlayson and Scriven（1966）の最初のレビューで次のように記述されているように、重み付き残差（MWR）の観点から考えると便利です。
「加重残差法は、現在使用されている微分方程式の近似解法の多くを統合します。」
そして
「重み付き残差法は、分散システムの変化方程式の近似解を見つけるためのエンジニアのツールです。」
つまり、MWR法は、いくつかの一般的な離散化法を体系的に統合します。
これはあなたが考えていたものですか？
線形方程式のシステムの解法については、投影法を構築するための一般的なアプローチとして、クリロフ部分空間法を使用しています。これらの方法の最も問題固有の部分は、収束を加速するための前提条件の選択です。これは通常、その選択を行う方法に固有の問題です。