摂動線形システムの初期推定

線形システムを、共役勾配法やリチャードソン反復法などの反復法で解くとします。次に、マトリックスと右側でわずかに摂動がある線形システムを解こうとします。たとえば、です。〜A 〜U = 〜$Au = f$$\tilde A \tilde u = \tilde f$

反復法の開始値として古いソリューションを使用することは意味がありますか？「意味をなす」とは、反復法の実行時間に信頼できる利得があることを意味します。これは、アドバイスされた実践と見なすことができるほど、一般に改善につながるのだろうか。$\tilde u_0 = u$

私が考えているアプリケーションは、適応有限要素から来ています。粗いグリッドで解を計算し、より細かいグリッド（適応法に基づいて生成された可能性がある）で解を見つけたい場合、任意の反復アルゴリズムの開始値は、より細かいグリッドに。同様に、非線形問題の解法に関与するニュートン法またはピカール反復法は、それがまったく意味をなさない場合、その方法で「ブースト」することができます。〜U$u$$\tilde u$$u$

適応有限要素を使用してこれを試し、補間によって以前のソリューションを新しいメッシュに引き継ぎました。このベクトルから始めても、CGの反復回数に顕著な影響はないことがわかります。言い換えれば、CGの反復では、最初の推測はほとんど役に立ちません。

もちろん、状況は非線形メソッド（ニュートン法など）の場合とはまったく異なり、粗いメッシュの最後の反復を細かいメッシュの最初の推測として使用することは絶対に価値があります。実際には、最も粗いメッシュで5〜10回の反復を実行することがよくありますが、その後、細かく分割されたメッシュごとに1〜2回の反復しか必要ありません。

それは本当に行列Aの条件数に依存すると思います。条件数が大きい場合、システムを少しでも混乱させると、根本的に異なるソリューションが生成される可能性があります。アダプティブFEMの場合、それは、システムの動作に期待するもの（そして当然、メッシュ自体の品質）に依存します。粗いグリッドから細かいグリッドへのかなりスムーズな移行が予想される場合は、摂動システムが非摂動システムにかなり近い解を持つことを期待する必要があります。突然の劇的な変化が予想される場合、摂動システムと非摂動システムの近さの実際の保証はありません。