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おそらく量子フーリエ変換とその応用の章を読んだでしょう。ニールセンとチュアン（10周年記念版）、これは当たり前のことでしたが、今日、もう一度見たとき、私にはまったく明らかなようです！ 位相推定アルゴリズムの回路図は次のとおりです。 キュビットを持つ最初のレジスタは、おそらく「制御レジスタ」です。最初のレジスタのキュービットのいずれかが状態にある場合| 1 ⟩対応する制御ユニタリゲートは第2のレジスタに適用されます。状態の場合| 0は⟩それはに適用されません第2のレジスタ。2つの状態の重ね合わせの場合| 0 ⟩と| 1 ⟩ttt|1⟩|1⟩|1\rangle|0⟩|0⟩|0\rangle|0⟩|0⟩|0\rangle|1⟩|1⟩|1\rangle2番目のレジスターの対応するユニタリーのアクションは、「線形性」によって決定できます。すべてのゲートが2番目のレジスタにのみ作用し、最初のレジスタには作用しないことに注意してください。最初のレジスタは、コントロールのみであることになっています。 ただし、最初のレジスタの最終状態は次のように示されます。 12t/2(|0⟩+exp(2πi2t−1φ)|1⟩)(|0⟩+exp(2πi2t−2φ)|1⟩)...(|0⟩+exp(2πi20φ)|1⟩)12t/2(|0⟩+exp(2πi2t−1φ)|1⟩)(|0⟩+exp(2πi2t−2φ)|1⟩)...(|0⟩+exp(2πi20φ)|1⟩)\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right) アダマールゲートの動作後、キュービットの最初のレジスタの状態に変化があると考える理由に私は驚いています。最初のレジスタの最終状態は、 (|0⟩+|1⟩2–√)⊗t(|0⟩+|1⟩2)⊗t\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t} だよね？これは、最初のレジスタがコントロールのみであることを前提としているためです。コントロールとして機能するときに、最初のレジスタの状態がどのようにまたはなぜ変化するのか理解できません。 最初、指数因子を最初のレジスタのキュービット状態の一部と見なすことは数学的便宜に過ぎないと考えていましたが、それでは意味がありませんでした。キュービットまたはキュービットのシステムの状態は、数学的に何が便利かには依存すべきではありません。 それでは、キュービットの最初のレジスタが単に2番目のレジスタの「コントロール」として機能する場合でも、最初のレジスタの状態が正確に変化する理由を誰かが説明できますか？それは単に数学的な都合ですか、それとももっと深いものがありますか？

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私はしばらくの間、有名な（？）論文の線形連立方程式の量子アルゴリズム（Harrow、Hassidim＆Lloyd、2009）（より一般的にはHHL09アルゴリズム論文として知られています）に頭を悩ませてきました。 最初のページで、彼らは言う： ここでアルゴリズムの基本的なアイデアをスケッチし、次のセクションで詳細に説明します。エルミート行列 Aと単位ベクトル→ bが与えられ、A → x = → bを満たす→ xを見つけたいと仮定します 。（効率に関する後の質問と、A および→ bについて行った仮定をどのように緩和できるかについて説明します。）最初に、アルゴリズムは量子状態として→ bを表し ます。B ⟩ = Σ N IN×NN×NN\times NAAAb⃗ b→\vec{b}x⃗ x→\vec{x}A x⃗ = b⃗ Ax→=b→A\vec{x} = \vec{b}AAAb⃗ b→\vec{b}b⃗ b→\vec{b}。次に、ハミルトニアンシミュレーション[3、4]の手法を使用してeiAtを|に適用します 。B私⟩異なる時間の重ね合わせのためのトン。Aをべき乗するこの能力は、位相推定のよく知られた手法[5–7]を介して、分解する能力に変換されます。B⟩ の固有基底でAおよび対応する固有値見つける λJ非公式には、この段階の後、システムの状態がクローズされましたΣ J =| B⟩= ΣNi = 1b私| 私は⟩|b⟩=∑i=1Nbi|i⟩|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\ranglee私はA トンeiAte^{iAt}| b私⟩|bi⟩|b_i\rangletttAAA| B⟩|b⟩|b\rangleAAAλjλj\lambda_j、Ujはの固有ベクトル基盤である Aと| B⟩=Σの J …

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量子位相推定アルゴリズム（QPE）は、量子ゲートの所定の固有ベクトルに関連する固有値の近似計算。UUU 正式には、聞かせての固有ベクトルも、QPEは、私たちが見つけることができます、最高のビット近似ようにおよび |ψ⟩|ψ⟩\left|\psi\right>UUU|θ~⟩|θ~⟩\vert\tilde\theta\ranglemmm⌊2mθ⌋⌊2mθ⌋\lfloor2^m\theta\rfloorθ∈[0,1)θ∈[0,1)\theta \in [0,1)U|ψ⟩=e2πiθ|ψ⟩.U|ψ⟩=e2πiθ|ψ⟩.U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle. HHLアルゴリズム（元の紙は）入力として行列取る満たすのことと量子状態と計算する線形システムの解をコードすることをです。AAAeiAt is unitary eiAt is unitary e^{iAt} \text{ is unitary } |b⟩|b⟩\vert b \rangle|x⟩|x⟩\vert x \rangleAx=bAx=bAx = b 備考：すべてのエルミート行列はの条件を統計化します。AAA そのために、HHLアルゴリズムは、表される量子ゲートでQPEを使用します。線形代数の結果のおかげで、がの固有値で場合、はの固有値であることがわかります。この結果は、量子線形システムアルゴリズムでも説明されています：プライマー（Dervovic、Herbster、Mountney、Severini、Usher＆Wossnig、2018）（29ページ、方程式68と69の間）。U=eiAtU=eiAtU = e^{iAt}{λj}j{λj}j\left\{\lambda_j\right\}_jAAA{eiλjt}j{eiλjt}j\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_jUUU QPEの助けを借りて、HLLアルゴリズムの最初のステップは、となるようにを推定しようとします。これにより、式 ie 分析することにより、条件と、私は（すなわち）の場合、位相推定アルゴリズムが失敗するという結論に終わりました正しい固有値を予測します。θ∈[0,1)θ∈[0,1)\theta \in [0,1)ei2πθ=eiλjtei2πθ=eiλjte^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}2πθ=λjt+2kπ,k∈Z, θ∈[0,1)2πθ=λjt+2kπ,k∈Z, θ∈[0,1)2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, …

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