理論計算機科学 chernoff-bound

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テール確率が少なくともそれほど大きいことを制限する逆チャーノフ境界があります。すなわち、X1,X2,…,XnX1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_nが独立した二項確率変数であり、μ=E[∑ni=1Xi]μ=E[∑i=1nXi]\mu=\mathbb{E}[\sum_{i=1}^n X_i]。その後、我々は証明することができPr[∑ni=1Xi≥(1+δ)μ]≥f(μ,δ,n)Pr[∑i=1nXi≥(1+δ)μ]≥f(μ,δ,n)Pr[\sum_{i=1}^n X_i\geq (1+\delta)\mu]\geq f(\mu,\delta,n)いくつかの機能のためにfff。

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加重和のチェルノフ限界

検討 lambda_i> 0とY_Iを標準正規として配布され、。（固定）係数lambda_iの関数として、Xでどのような濃度範囲を証明できますか？バツ= ∑私λ私Y2私バツ=∑私λ私Y私2X = \sum_i \lambda_i Y_i^2 すべてのlambda_iが等しい場合、これはチャーノフ境界です。私が知っている他の唯一の結果は、アローラとカンナンの論文からの補題（「任意ガウス分布の学習」、STOC'01、補題13）であり、、すなわち、結合したが、係数の二乗の和に依存します。Pr o b （X< E[ X] − t ）< e x p （− t2/（4 ∑私λ2私）Prob（バツ<E[バツ]−t）<eバツp（−t2/（4∑私λ私2）Prob(X < E[X] - t) < exp(-t^2/(4 \sum_i \lambda_i^2) それらの補題の証明は、チェルノフ限界の通常の証明に類似しています。そのような他の「標準的な」境界、またはラムダ_iの関数が大きいために優れた指数集中が保証されるような一般的な理論はありますか（ここでは、関数は単に平方の合計でした）？たぶん、エントロピーの一般的な尺度ですか？ Arora-Kannan補題のより標準的なリファレンスも、存在する場合は素晴らしいでしょう。

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ペアワイズ独立確率変数のチャーノフ型不等式

チャーノフ型不等式は、独立したランダム変数の合計が期待値から大きく逸脱する確率が、期待値と偏差で指数関数的に小さいことを示すために使用されます。ペアワイズ独立確率変数の合計にチェルノフ型の不等式はありますか？言い換えれば、次のことを示す結果があります。ペアごとに独立したランダム変数の合計がその期待値から逸脱する確率は、期待値と逸脱において指数関数的に小さいですか？

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チェルノフ限界の拡張

Chernoffの以下の拡張機能への参照（私ができる証拠ではありません）を探しています。ましょX1,..,XnX1,..,XnX_1,..,X_nはブールランダム変数であり、必ずしも独立ではありません。代わりに、各およびすべてに依存するすべてのイベントに対してが保証されます。i C { X j | j ≠ i }Pr(Xi=1|C)<pPr(Xi=1|C)<pPr(X_i=1|C)(1+\lambda)np\right)。前もって感謝します！

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独立指数確率変数の合計

独立した指数確率変数の合計で鋭い集中結果を証明できますか、つまりをような独立なランダム変数としましょう。レッツ。我々は、フォームの境界を証明できる。これは、チェルノフ境界の分散形式を使用しているため、真であると信じている場合に直接続きますが、私が読んだ境界は、境界性を必要とするか、変数の境界性にある程度依存しています。誰かが私に上記の証拠を指摘できますか？ P R （X I < X ）= 1 - E - X / λ I Z = Σ X I P R （| Z - μ Z | > T ）< E - T 2 / Σ （λ I ）2X1,…XrX1,…XrX_1, \ldots X_rPr （X私< x ）= 1 − e− x …

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3つの結果を持つ確率変数のチャーノフ型不等式

非数値a、b、cを取るランダム変数があり、この変数のサンプルの経験的分布が真の分布からどのように逸脱しているかを定量化したいとします。この場合、次の不等式（Cover＆Thomasによる）が適用されます。んnn 定理12.4.1（Sanovの定理）：レッツ IIDこと〜Q （X ）。してみましょうE ⊆ Pは確率分布の集合とします。次いで、 Q N（E ）= Q N（E ∩ P N）≤ （N + 1 ）| X | 2 − n D （P ∗ |バツ1、X2、… 、XんX1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n〜Q （X ）∼Q(x)\sim Q(x)E⊆ PE⊆PE \subseteq \mathscr{P}Qん（E）= Qん（E∩ Pん）≤ （n + 1 ）| バツ|2− n D （P∗| | …

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