Inverse 3-SATについて

コンテキスト：KavvadiasとSideriは、逆3-SAT問題がcoNPであることを示しました完全：変数のモデルのセットが与えられた場合、がモデルの正確なセットであるような3-CNF式はありますか？内のすべてのモデルによって満たされるすべての3節の結合である直接候補式が生成されます。n ϕ $\phi$$n$$\phi$$\phi$

それが意味するすべての3句が含まれているため、この候補式は同等の式簡単に変換できますこれは、解決策の下で3つ閉じられています-式の3つのクロージャは、解決策の下でのクロージャのサブセットですサイズが3以下の句のみ。節-すべての可能なresolventsは、式の句によって包含されている場合A CNF式は、解像度の下では閉じている句によって包含されるのすべてのリテラル場合である。 c 1 c 2 c 2 c $F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

与えられたとき、がのどのモデルのサブセットでもないような変数の部分的な割り当て。は$I$$I$$\phi$

コール、適用することで誘発される式する：と評価されたリテラル含むすべての句の下で式から削除されたとする評価任意のリテラルの下で削除されますすべての条項から。 I F ϕ t r u e I f a l s e $F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

呼び出しますは、から、3つの制限されたすべての解決策（レゾルベントとオペランドに最大3つのリテラルがある）と包摂によって導出された式です。 F ϕ | $G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

質問：、決議の下で3クローズされていますか？$G_{\phi|I}$

回答：はい（が一部のモデルのサブセットであっても）$I$$\phi$

LETから導出節の集合のすべての可能な3-限定解像度とsubsumptions（によっての3-限定クロージャで）。所与によって暗示句、それの少なくとも一つのサブセットが存在句暗示。そのようなサブセットにという名前を ます。 F φ ∪ Fのφ | I R | I F φ ∪ Fのφ | I c F ϕ R | I c R $R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

レッツ、次のプロパティ：すべてのために によって暗黙よう、c F ϕ | c | 私 | ≤ $P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

| R c | ≤ K ⇒ C | I ∈ Gのφ | 私$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$、は、節によって包含され$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

ここで再発が始まります。与えられたによって暗黙よう、すなわちの3-閉鎖。F ϕ | c | 私 | ≤ 3 C | I ∈ F φ | $c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. ∃ R C ⊆ R | 私 / | R c | = 1 R C = { D } D ∈ F φ ∪ F φ | I c c | 私は d | I ∈ F φ | I F ϕ | I G ϕ | I P （1 $k=1$。場合次に（包摂）とはによって包含され（句は句によって包含され）。したがって、です。$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. を想定します。が存在し、場合（およびおよびようなサイズ1 の他のがない場合）次に、と仮定しますここで、はによって設定されないリテラルであり、はすべて0に評価されるリテラルのサブセットです下の、すなわち、、を有する必ずしも異なりません。 、K ≥ 1 ∃ R C ⊆ R | 私 | R c | ≤ K + 1 R C C ∉ Fのφ | c | > 3 、C = （α β γ L I）α 、β 、γ I L I I （L I ≠ ∅ ）C | 私$P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$$\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$α 、β 、$c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. になるように、つまりにリテラルが含まれるように、から節削除します（以来、はそのような句が少なくとも1つあります）および。 R c | D I | 私 | < | D I | ≤ 3 D I L I R C L I ≠ ∅ | D I | 私 | ≤ $d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. 残りのセットのサイズはです。特定の節がによって暗示される場合（はすべてに評価されるリテラルのサブセットです）下で0 ）の場合、および、。により、は、いくつかの句によって包含され、を誘導し。 ≤ k個のC ' = （α β γ L ' I）R C ∖ D I L ' I I | c ′ | 私 | = 3 ∃ R C " = R C ∖ D I ⊆ R | 私 | R c ′ | ≤ K P （K ）$R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$∈Gのφを| IP（k+1）$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. 場合含まれているまたはかをその後、暗示する無用である[いくつかの句は包摂]。次に、意味し、前述のようにを誘導します。ˉ α ˉ β ˉ γ D I | I c R c ∖ d i c P （k + 1 $d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. もし包摂次に、満たされている。 c | I P （k + 1 ）$d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. もし包摂ないとが含まれていない又は又はその後のいずれかまたは又は、ここで、及びによって設定されていない、および。 c | I ˉ α ˉ β ˉ γ D I | I = （x ）d i | I = （a x ）d i | 私は = （XのY ）、X 、Y ∉ { α β γ } I ∈ { α β γ $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ $\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • 場合、次いで意味特定の句の意味こと（リコール意味手段を包含する節）。オペランドとしてを使用した解決により、他のオペランドから削除されるため、のどの句にもが含まれていません（以降これは、の3つの制限付き閉包です。次に、意味し、誘導しますR C ∖ D I（ˉ X α β γ L I）C 、C 、D 、I | I = （X ）ˉ X R C ∖ D I ˉ X R C ∖ D I ⊆ R | I F φ ∪ Fのφ | I R c ∖ $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$（αβγ L I）P（K+1$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$ ポイント（4）に示すように。

   • もし次に意味。可能な各句でをに置き換え（新しい句が句によって包含される場合、代わりに包含句を保持します。とにかく、句は）。結果セットにという名前を付けます（）。次に、意味し、上記のようにを誘導します。R C ∖ D I（ˉ X α β γ L I）ˉ X A R C ∖ D I R | I R | I RのC 、D I RのC 、D I ⊆ R | I R C 、D I（α β γ $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$P（k+1$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • 場合、次に意味および。可能な各句でをに置き換え（上記のように、新しい句がいくつかの句によって包含される場合は、代わりに包含句を保持します）。結果セットにという名前を付けます（）。次に、意味します。それはまた意味しているのでそれは分解物を意味しますR C ∖ D I（ˉ X α β γ L I）（ˉ Y α β γ L I）ˉ X Y R C ∖ D I R | I RのC 、D I RのC 、D I ⊆ R | I R c 、$d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$（YαβγLI）（ ˉ Y αβγLI）（αβγLI）P（K+1$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$、誘導します。$P(k+1)$

この繰り返しによって、任意の節の3-閉鎖、いくつかの句によって包含される（他の方法も同様に成立します）。次に、はの3クロージャに対応します。F φ | I ∈ Gのφ | I G ϕ | I F ϕ | $\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

を多項式時間でどのように計算できるかはわかりません。なぜなら、解決自体を行うと（最悪の場合）指数時間がかかるためです。たとえば、3-CNFの候補式が次のようであるとします 次に、での解決の結果は、以下の式ます したがって、式は次のようになります F 1 F 1：= { { 、B 、C } 、{ D 、E 、¬ C } 、{ 、¬ B 、F } 、{ D 、E 、¬ F } } F 1 F 2 F 2：= { { a 、b 、c } $F_\phi$$F_1$

$$F_1 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}\}$$ $F_1$$F_2$F ϕ F ϕ $$F_2 := \{ \{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,b,d,e\}, \{a,\neg b, d, e\}, \{a,d,e\}\}$$ $F_\phi$ $$F_\phi :=\{\{a, b, c\}, \{d, e, \neg c\}, \{a, \neg b, f\}, \{d, e, \neg f\}, \{a,d,e\}\}$$

ただし、ご覧の、最後の句を取得するには、最初に4リテラル句をすべて取得する必要があります。したがって、解決のために指数関数的に多くのステップを取り除く方法はありません。確かに、鳩の巣の原理などのいくつかの問題では、解決策は指数関数的に少ないステップでそれを解決できないことを知っています（ただし、私が知る限り、これらの例は3-CNF形式ではなく、いくつかのインテリジェントな解決策ではありません）入力が3-CNF形式であることが保証されている場合に存在する可能性があります）。$F_\phi$