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シェルピスキーグラフ上のハミルトニアンサイクルの数
私はこのフォーラムに初めて参加し、物理学者で脳を整えるためにこれを行います。そのため、最もエレガントな言語を使用しない場合は、恵みを示してください。他のタグがより適切だと思われる場合は、コメントを残してください。 私は、ハミルトニアンサイクルの数を次のシェルピンスキーグラフ計算する必要があるこの問題を解決しようとしています。（シェルピンスキーグラフの定義と写真については、上記のリンクも参照してください）C(n)C(n)C(n)nnnSnSnS_n 私はを見つけましたが、解決策が与えられた値一致しないため、何かを台無しにしたに違いありません。私の議論は非常に基本的な考えから成り立っており、間違いを見つけることはできません。どんな助けも大歓迎です。長いように見えても、フォローしている間にグラフを見れば、考えは些細なものになります。C(n)C(n)C(n)C(5)=71328803586048C(5)=71328803586048C(5) = 71328803586048 （a）与えられたグラフ、外側の角呼び出します。次に、次の数量を定義します。SnSnS_nA,B,CA,B,CA,B,C N(n):=N(n):=N(n) := からへのハミルトニアンパスの数。AAACCC N¯(n):=N¯(n):=\bar{N}(n) := を除く各ノードを1回訪問からへのパスの数。AAACCCBBB また、このようなパスをまたはタイプのパスと呼ぶことにします。NNNN¯N¯\bar{N} （b）ことが簡単にわかります。N(n)=N¯(n)N(n)=N¯(n)N(n)=\bar{N}(n) 理由は次のとおりですタイプのパスを考えてください。から始まるこのパスの形式はです。セグメントをに置き換えることにより、タイプのパスを取得します。この操作は、すべてのタイプのパスをタイプのパスに一意にマッピングします。NNNAAA(A,...,X1,B,X2,...,C)(A,...,X1,B,X2,...,C)(A,...,X_1,B,X_2,...,C)(X1,B,X2)(X1,B,X2)(X_1,B,X_2)(X1,X2)(X1,X2)(X_1,X_2)N¯N¯\bar{N}NNNN¯N¯\bar{N} （c）再帰を導出します。N(n+1)=2N(n)3N(n+1)=2N(n)3N(n+1)=2N(n)^3 検討から型経路にし、外側の隅subtrianglesを表すによってそれぞれ。タイプのパスは、からを介してまで、一度だけ各サブトライアングルを訪れることは明らかです。ここで、サブと接触するノードを考えます。（i）離れる前、または（ii）を入力した後、パスがこのポイントにアクセスする場合、2つの可能性があります。NNNAAABBBA,B,CA,B,CA,B,CTA,TB,TCTA,TB,TCT_A,T_B,T_CNNNTATAT_ATBTBT_BTCTCT_CZZZTATAT_ATCTCT_CTATAT_ATCTCT_C。これらの場合、内の3つのサブパスは、それぞれタイプ（i）または（ii）です。これを念頭に置いてカウントすることができますTA,TB,TCTA,TB,TCT_A,T_B,T_C N,N,N¯N,N,N¯N,N,\bar{N} N¯,N,NN¯,N,N\bar{N},N,N N(n+1)=N(n)N(n)N¯(n)+N¯(n)N(n)N(n)N(n+1)=N(n)N(n)N¯(n)+N¯(n)N(n)N(n)N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)そして（b）で上に到達します再帰。 （D）我々は再帰解決の（c）とと得。N(1)=1N(1)=1N(1)=1N(n)=230+31+...+3n−2N(n)=230+31+...+3n−2N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}} （e）グラフハミルトニアンサイクルを考えます。3つのサブ三角形はそれぞれ2つのノードのみを介して他のサブ三角形に接続されているため、サイクルが1つの接続ノードを介して各サブ三角形に1回だけ入り、それを「塗りつぶし」、最後に他の接続ノードを介して離れることは明らかです。したがって、のハミルトニアンサイクルは、すべてが構造を持つサブトライアングルの3つの型サブパスで構成されます。ハミルトニアンサイクルの数について結論づけることができますSnSnS_nSnSnS_nNNNSn−1Sn−1S_{n-1} C(n)=N(n−1)3C(n)=N(n−1)3C(n) = N(n-1)^3。 ただし、場合は次のようになりますn=5n=5n=5 C(5)=N(4)3=81923=549755813888≠71328803586048C(5)=N(4)3=81923=549755813888≠71328803586048C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048 後者は問題のページに従って取得する必要があります（上記のリンク）。 ヘルプやコメントをありがとう。