シェルピスキーグラフ上のハミルトニアンサイクルの数

私はこのフォーラムに初めて参加し、物理学者で脳を整えるためにこれを行います。そのため、最もエレガントな言語を使用しない場合は、恵みを示してください。他のタグがより適切だと思われる場合は、コメントを残してください。

私は、ハミルトニアンサイクルの数を次のシェルピンスキーグラフ計算する必要があるこの問題を解決しようとしています。（シェルピンスキーグラフの定義と写真については、上記のリンクも参照してください）$C(n)$$n$$S_n$

私はを見つけましたが、解決策が与えられた値一致しないため、何かを台無しにしたに違いありません。私の議論は非常に基本的な考えから成り立っており、間違いを見つけることはできません。どんな助けも大歓迎です。長いように見えても、フォローしている間にグラフを見れば、考えは些細なものになります。$C(n)$$C(5) = 71328803586048$

（a）与えられたグラフ、外側の角呼び出します。次に、次の数量を定義します。$S_n$$A,B,C$

$N(n) :=$からへのハミルトニアンパスの数。$A$$C$

$\bar{N}(n) :=$を除く各ノードを1回訪問からへのパスの数。$A$$C$$B$

また、このようなパスをまたはタイプのパスと呼ぶことにします。$N$$\bar{N}$

（b）ことが簡単にわかります。$N(n)=\bar{N}(n)$

理由は次のとおりですタイプのパスを考えてください。から始まるこのパスの形式はです。セグメントをに置き換えることにより、タイプのパスを取得します。この操作は、すべてのタイプのパスをタイプのパスに一意にマッピングします。$N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$$\bar{N}$

（c）再帰を導出します。$N(n+1)=2N(n)^3$

検討から型経路にし、外側の隅subtrianglesを表すによってそれぞれ。タイプのパスは、からを介してまで、一度だけ各サブトライアングルを訪れることは明らかです。ここで、サブと接触するノードを考えます。（i）離れる前、または（ii）を入力した後、パスがこのポイントにアクセスする場合、2つの可能性があります。$N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$$T_A$$T_C$。これらの場合、内の3つのサブパスは、それぞれタイプ（i）または（ii）です。これを念頭に置いてカウントすることができます$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$そして（b）で上に到達します再帰。

（D）我々は再帰解決の（c）とと得。$N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

（e）グラフハミルトニアンサイクルを考えます。3つのサブ三角形はそれぞれ2つのノードのみを介して他のサブ三角形に接続されているため、サイクルが1つの接続ノードを介して各サブ三角形に1回だけ入り、それを「塗りつぶし」、最後に他の接続ノードを介して離れることは明らかです。したがって、のハミルトニアンサイクルは、すべてが構造を持つサブトライアングルの3つの型サブパスで構成されます。ハミルトニアンサイクルの数について結論づけることができます$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

$C(n) = N(n-1)^3$。

ただし、場合は次のようになります$n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

後者は問題のページに従って取得する必要があります（上記のリンク）。

ヘルプやコメントをありがとう。

良いアイデア！問題はステップです。パスのを置き換えると、 -pathが得られますが、すべての -pathにが含まれるわけではありません。したがって、これは全単射ではありません。これはます。$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

または、実際にはであることを示すことができ、その結果ます。$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$