無限再帰セットのサブセット

最近の試験問題は次のとおりです。

は、無限に再帰的に列挙可能なセットです。に無限の再帰サブセットがあることを証明します。 $A$ $A$

してみましょう、無限の再帰的なサブセットである。は、再帰的に列挙できないサブセットが必要ですか？ $C$ $A$ $C$

1.と答えました。2.に関しては、私は肯定的に答え、次のように主張した。

すべてのサブセットが再帰的に列挙可能であると仮定します。以来、無限大の電力セットそう仮定により非可算多くの帰納的可算集合が存在するであろう、無数です。しかし、再帰的に列挙可能なセットは、それらを認識するチューリングマシンと1対1で対応しており、チューリングマシンは列挙可能です。矛盾。したがって、は、再帰的に列挙できないサブセットが必要です。 $C$ $C$ $C$ $C$

これは正しいです？

computability check-my-proof

— user1435
ソース

各リセットは1つだけでなく、無限に多くのチューリングマシンによって列挙されるため、最終的には正しくありません。ただし、これを回避することはできます。

— Carl Mummert、

@カール：ああ、そうです、ありがとう-ばかげた間違い。しかし、私が必要なのは、全単射ではなく、TMへの注入だけです。そして、私のクラスで使用したTuring-computableの定義では、各TMは1つだけの関数に関連付けられています。つまり、異なるセット->異なる認識関数->それらを計算する異なるTMです。

— user1435

！user1435：最後の文を逆転しています。各チューリングマシンは単一の関数を計算しますが、計算可能な各関数は無限に多くのチューリングマシンから取得されます。

— カールママート

しかし、私の関数fが{認識関数r}をf（r）= {TMs}に{TMs}にマッピングする場合、それを計算する無限に多くのTMのいずれかである場合、注入がありますよね？または、同じ関数を計算するTMの無限大を特定する同値関係〜で{TM}を分割し、rを適切な同値クラスにマッピングすることができると思います。

— user1435

カールは正しい、それらは1対1の対応ではなく、各ceセットは無限に多くのTMに対応します。コメントで行うように他のオブジェクトのセットを考慮しても何も変更されませんが、それらはTMのセットではありません。

— カヴェ

合ってます。

$\aleph_0\leq C \implies \aleph_0 < 2^C$

$C$

$D = \{ i \in C \mid i \notin W_i \}$ $W_i$ $i$ $D \subseteq C$ $D$ $C$ $K = \{ i \mid i\notin W_i\}$ $C$ $D$

— カヴェ
ソース

「すべての無限集合には、決定できないサブセットがあります。」これは、私が証明しようとした主張よりも弱いです。私は、Cが決定不能なサブセットではなく、RE以外のサブセットを持つ必要があることを証明しようとしました。私の主張はまだ正しいですか？

— user1435

はい。「決定不可能」という用語は少し過負荷です（ウィキペディアで良い議論があります）。したがって、この答えはおそらくあなたが証明しようとしていることを意味します。

— デビッドルイス

@ user1435、そうです。同じ議論があらゆる数の言語のクラスで機能します。明確にするために質問を更新しました。

— カヴェ