条件付き不等分散性を持つ線形モデルの推論
独立変数ベクトルとおよび従属変数を観察するとします。次の形式のモデルに適合させたい： ここでは正の値の2階微分可能関数、は未知のスケーリングパラメーター、はゼロ平均の単位分散ガウス確率変数（から独立していると仮定）および）。これは本質的に、（少なくとも私が理解している限り）Koenkerの異分散性のテストの設定です。x⃗ x→\vec{x}z⃗ z→\vec{z}yyyy=x⃗ ⊤β1→+σg(z⃗ ⊤β2→)ϵ,y=x→⊤β1→+σg(z→⊤β2→)ϵ,y = \vec{x}^{\top}\vec{\beta_1} + \sigma g\left(\vec{z}^{\top} \vec{\beta_2}\right) \epsilon,gggσσ\sigmaϵϵ\epsilonx⃗ x→\vec{x}z⃗ z→\vec{z} 私はの観測値のと、およびIは推定したいと。ただし、いくつか問題があります。nnnx⃗ ,z⃗ x→,z→\vec{x}, \vec{z}yyyβ1→β1→\vec{\beta_1}β2→β2→\vec{\beta_2} 推定問題を最小二乗法のようなものとしてどのように提起するかはわかりません（よく知られたトリックがあると思います）。最初の推測は、 しかし私はそれを数値的に解決する方法がわからない（おそらく、準ニュートン反復法で解決できるかもしれません）。minβ1→,β2→⎛⎝⎜⎜⎜⎜∑i=1n(yi−xi→⊤β1→)2g(zi→⊤β2→)2⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛⎝⎜⎜⎜⎜∑i=1n1g(zi→⊤β2→)2⎞⎠⎟⎟⎟⎟−1,minβ1→,β2→(∑i=1n(yi−xi→⊤β1→)2g(zi→⊤β2→)2)(∑i=1n1g(zi→⊤β2→)2)−1,min_{\vec{\beta_1}, \vec{\beta_2}} \left(\sum_{i=1}^n \frac{\left(y_i - \vec{x_i}^{\top}\vec{\beta_1}\right)^2}{g\left(\vec{z_i}^{\top}\vec{\beta_2}\right)^2}\right)\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{g\left(\vec{z_i}^{\top}\vec{\beta_2}\right)^2}\right)^{-1}, 私が問題をまともな方法で提起し、推定値を見つけることができると仮定すると、たとえば、仮説検定を実行できるように、推定値の分布を知りたいと思います。私は別に2つの係数ベクトルをテストするといいと思いますが、テストにいくつかの方法を好むだろう、例えば所与のため。β^1,β^2β^1,β^2\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2 H0:w1→⊤β1→+w2→⊤β2→≤cH0:w1→⊤β1→+w2→⊤β2→≤cH_0: \vec{w_1}^{\top} \vec{\beta_1} + \vec{w_2}^{\top} \vec{\beta_2} \le cw1→,w2→,cw1→,w2→,c\vec{w_1}, \vec{w_2}, c