4
正弦波の多項式近似を見つける
Iは、で与えられる正弦波近似するsin(πx)sin(πx)\sin\left(\pi x\right)単純に多項式波形整形を適用することにより、三角波関数によって生成されるが、 T(x)=1−4∣∣12−mod(12x+14, 1)∣∣T(x)=1−4|12−mod(12x+14, 1)|T\left(x\right)=1-4\left|\tfrac{1}{2}-\operatorname{mod}(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4},\ 1)\right| ここで、mod(x,1)mod(x,1)\operatorname{mod}(x, 1)の小数部分であり、xxx： mod(x,y)≜y⋅(⌊xy⌋−xy)mod(x,y)≜y⋅(⌊xy⌋−xy) \operatorname{mod}(x, y) \triangleq y \cdot \left( \left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor - \frac{x}{y} \right) テイラーシリーズは波形整形として使用することができます。 S1(x)=πx2−πx233!+πx255!−πx277!S1(x)=πx2−πx233!+πx255!−πx277!S_1\left(x\right)=\frac{\pi x}{2}-\frac{\frac{\pi x}{2}^3}{3!}+\frac{\frac{\pi x}{2}^5}{5!}-\frac{\frac{\pi x}{2}^7}{7!} 上記の関数を考えると、S1(T(x))S1(T(x))S_1(T(x))は正弦波の適切な近似を取得します。しかし、合理的な結果を得るには、シリーズの7乗に上げる必要があります。ピークは少し低く、傾斜が正確にゼロにはなりません。 テイラー級数の代わりに、いくつかのルールに従って多項式ウェーブシェイパーを使用できます。 -1、-1、+ 1、+ 1を通過する必要があります。 -1、-1、+ 1、+ 1の勾配はゼロでなければなりません。 対称でなければなりません。 要件を満たす単純な関数： S2(x)=3x2−x32S2(x)=3x2−x32S_2\left(x\right)=\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{2} グラフS2(T(x))S2(T(x))S_2(T(x))とsin(πx)sin(πx)\sin\left(\pi x\right)かなり接近しているではなく、近くテイラー級数として。ピークとゼロクロッシングの間に、それらは目に見えて少しずれています。要件を満たす、より重く、より正確な機能： S3(x)=x(x2−5)216S3(x)=x(x2−5)216S_3\left(x\right)=\frac{x(x^2-5)^2}{16} これはおそらく私の目的には十分ですが、正弦波により近く、計算的に安価な別の関数が存在するかどうか疑問に思っています。上記の3つの要件を満たす関数を見つける方法についてはかなりよく理解していますが、それらの要件を満たし、正弦波に最も近い関数を見つける方法はわかりません。 正弦波を模倣する多項式を見つけるための方法はありますか（三角波に適用される場合）？ 明確にするために、奇数対称の多項式だけを探しているわけではありませんが、それらは最も簡単な選択です。 次の関数のようなものも私のニーズに合う可能性があります。 S4(x)=3x2+x24+x44S4(x)=3x2+x24+x44S_4\left(x\right)=\frac{3x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{4} これは負の範囲の要件を満たし、区分的なソリューションを使用して正の範囲にも適用できます。例えば 3x2−P(x,2)4−P(x,4)43x2−P(x,2)4−P(x,4)4\frac{3x}{2}-\frac{P\left(x,2\right)}{4}-\frac{P\left(x,4\right)}{4} ここで、PPPは符号付きべき関数ですです。 また、小数指数をサポートするために符号付きべき関数を使用するソリューションにも興味があります。これにより、別の係数を追加せずに別の「ツイストノブ」が得られます。 a0x …