信号の固有値と固有ベクトル

信号または関数の固有値と固有ベクトルは何を表していますか？その物理的な意味は何ですか？信号投影が表現される直交平面を構成する信号の基底ベクトルについて知っています。基底ベクトルと固有ベクトルは同じものですか？これらの固有ベクトルを使用して信号を再構成できますか？

— Amit_DSP
ソース

<s>シグナル</ s>行列または<s>関数</ s>カーネル関数の固有値/固有ベクトルについて質問していますか？

— Atul Ingle

EigenValuesとEigenVectorsは、システムまたは線形マッピング行列などの変換のプロパティであり、信号には固有値または固有ベクトルがありません。信号と見なされる関数もそれらを所有していませんが、マッピングと見なされる（したがって、ある種の変換と見なされる）関数は固有値と固有ベクトルを所有している可能性があります

— Fat32

与えられた信号を別の信号空間にマッピングする線形時不変システムを考えてみましょう。システムがスケーリングされたバージョンの入力信号、たとえば生成する場合、とをそれぞれ固有値と固有ベクトルとして表示できます（は固有信号のゲインまたは減衰を示します）。 $\phi$ $\lambda \phi$ $\lambda$ $\phi$ $λ$

ここで、システムのインパルス応答がであると仮定します。入力が固有信号の場合、出力は $h[n]$ $x[n]$

y [n] = x [n] \sum_{k = - \infty}^{\infty} h [k] e^{- j \cdot ω \cdot k}

$y[n] = x[n]\sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$

したがって、

λ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} h [k] e^{- j \cdot ω \cdot k}

$\lambda = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$

これは単に離散時間フーリエ変換の変換であることに注意してください以降。さらに、のフーリエ変換も意味があります。 $h[n]$ $H(e^{j \omega}) = \sum\limits_{k=- \infty}^{\infty} h[k]e^{-j \cdot \omega \cdot k}$ $x[n]$

固有ベクトルが常に基礎を形成するとは限らないことに注意してください。たとえば、固有値はで、固有空間はです。基礎を形成するのに十分な独立した固有ベクトルがありません。 $\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 0 &0\end{pmatrix}$ $0$ $\begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$

信号の固有値または固有ベクトルの物理的重要性に関するその他の説明については、Researchgateのこの投稿を参照してください。はい、すべての固有ベクトルを使用して元の信号を再構築するか、それらのいくつかを使用して信号を近似できます

— lennon310
ソース

問題ない。また、「線形変換不変システム」の代わりに「線形時間不変システム」を意味しますか？

— Atul Ingle

@AtulIngleはい、修正されました

— 。thx

@ lennon310回答ありがとうございます。しかし、上記の方程式で文字通り伝えたいことがわかりませんでした。詳しく説明してください。信号と固有値、固有ベクトルの関係を知りたいだけです。

— Amit_DSP 2014

@ lennon310; QとAの両方に+1を付けました。その質問を私の頭の中でどれだけ退屈させましたか。ありがとう。

— MimSaad 2017年

@Amit_DSPこの結果が意味することは、線形時不変システムへの入力信号が固有ベクトルである場合、出力は、システムのDTFTに従って、大きさがスケーリングされ、位相シフトされた同じ信号であるということです。ケース。

λ

$\lambda$

— Envidia