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ライン上の並列小石ゲーム
で小石ゲームのノード上の小石私は、あなたが追加したり、ノードI + 1から小石を削除することができますがある場合にはライン上のNを介して0ノード0の小石でゲームを開始するとラベルN + 1つのノードがあります。目標は、ボードに多くの小石を同時に配置せずに、あまり多くのステップを踏むことなく、ノードNに小石を配置することです。 素朴な解決策は、小石を1、2、3のように配置することです。これは、ステップ数の観点から最適です。同時にボード上の小石の最大数が最適ではありません。最後のステップでは、ボード上にN個の小石があります（0の小石は数えません）。 このペーパーでは、ボードに同時に小石を少なくする戦略があります。それらは、一度にΘ （lg N ）のΘ(lgN)\Theta(\lg N)小石を超えることなくノードNに到達しますが、ステップ数をΘ （n lg 2 3）に増やすという犠牲を払いΘ(nlg23)\Theta(n^{\lg_2 3})ます。位置Nに小石があるかどうかをトグルします。NN他の小石を残さずにN / 2を再帰的N/2N/2に切り替えます。これを開始点として使用して、NNNを別の再帰ステップで切り替え、次に3番目の半分の再帰ステップでN / 2を切り替えますN/2N/2それをクリアします。 私は、小石の追加と除去を並行して行うことができるという仮定の下で、小石の最大数とステップ数の間のトレードオフに興味があります。「並列」とは、個々の追加/削除が許可され、行われている他の動きと相互作用しない限り、各ステップで必要な数の小石を追加または削除できることを意味します。具体的には、AAAが小石を追加または削除するノードのセットであり、PPPがステップの開始時に小石を持っていたノードのセットである場合、次のようにすべての追加と削除を単一のステップで実行できます限り{ - 1 | ∈ A } ⊆ P - A{a−1|a∈A}⊆P−A\{a-1 | a \in A \} \subseteq P - A。 たとえば、ステップiの小石をiiiに配置し、√の倍数の小石をマークする戦略を考えます。iiNN−−√\sqrt{N}を「チェックポイント」として使用し、可能な場合は常に、小石の付いたチェックポイントの背後にある最高インデックスの小石を削除します。この戦略は、依然として後Nノードに達するNのNNナイーブな戦略のように、ステップが、から小石の最大数を減らすNNNに2 √N2N−−√2 \sqrt{N}。 N個のNNステップで終了し、さらに低い漸近的な最大ペブル複雑度で終了する並列ラインペブル戦略はありますか？O （N lg N ）O(NlgN)O(N \lg N)ステップを許可する場合はどうなりますか？max-pebbleと時間のトレードオフが特に良い「興味深い」ポイントは何ですか？