SATに関連するトポロジ空間：コンパクトですか？

充足可能性問題は、もちろん、理論的なCSでの根本的な問題です。私は無限に多くの変数を持つ問題の1つのバージョンで遊んでいました。$\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

基本セットアップ。ましょ空でないとすることの可能性が無限集合変数。リテラルは、変数x \ in Xまたはその否定\ neg xのいずれかです。節cは、有限数のリテラルの分離です。最後に、式Fを一連のClauseとして定義します。$X$¬ X C$x \in X$$\neg x$$c$$F$

Xの割り当て$X$は、関数$\sigma : X \to \{0,1\}$です。割り当て$\sigma$が句を満たすときの条件を明示的に定義しません。これは少し面倒で、標準のSATと同じです。最後に、すべての構成句を満たす場合、割り当ては式を満たします。してみましょう$\sat(F)$の割り当てを満たすの集合$F$、としましょう$\unsat(F)$の補完する$\sat(F)$。

トポロジー空間。

私たちの目標は、Xのすべての割り当ての空間を与えることです。これをトポロジ構造で\ Sigma$X$と呼びます。閉集合の形式は\ sat（F）で、Fは式です。これが実際にトポロジであることを確認できます。$\Sigma$$\sat(F)$$F$

• 句を含まない空の式$\emptyset$は、すべての割り当てで満たされます。そう$\Sigma$閉じられています。
• 式$\{ x, \neg x \}$、任意の$x \in X$に対して矛盾です。したがって、$\emptyset$は閉じられます。
• 任意の交差点での閉鎖。仮定$F_{i}$それぞれのための式である$i \in I$。それから$\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$。
• 有限連合の下での閉鎖。仮定$F$および$G$ 2つの式であり、定義 $$F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$$ それから$\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$これには引数が必要ですが、これはスキップします。

このトポロジーを$\mathcal T$、つまり\ Sigma上の「充足可能性トポロジー」（！）と呼び$\Sigma$ます。もちろん、このトポロジのオープンセットの形式は$\unsat(F)$です。さらに、オープンセットのコレクション

コンパクト？これは非常に便利ではないにしても、物事を見る興味深い方法だと思います。このトポロジ空間がコンパクト性、接続性などの伝統的な興味深い特性を持っているかどうかを理解したいと思います。この投稿では、コンパクト性に制限します。

ましょ変数の可算無限集合とします。^1つのであるコンパクトの下で？$X$$\Sigma$$\mathcal T$

次のことを証明できます

命題。 は、すべての不満足な式についてのみ、コンパクトであり、有限の不満足な部分式ます。$\mathcal T$$F$$\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

（それほど難しい練習ではありません！）数日間考えた後、私はこの質問に答えるのにあまり進歩がありません。私はまた、コンパクトさについての強力な証拠も持っていません。何らかのアプローチを提案できますか？

最後に、ボーナス質問として：

そのような構造は以前に研究されましたか？

¹可算の制限は単純化のためです。また、有限数の変数からの次の自然なステップのように感じます。$X$

あなたがしているのは、ブール代数のトポロジカル表現を導き出すことです。ブール代数の表現の研究は、少なくともリンデンバウムとタルスキーにまで遡ります。リンデンバウムとタースキーは、完全な原子ブール代数がパワーセット格子と同型であることを証明しました（1925年に私は思います）。

ただし、完全でアトミックではないブール代数があります。例えば、配列、数式上に定義されたブール代数に制限はありません下降鎖です。そのようなあなたが言及一つとして任意のブール代数、かどうかの問題、また、セットベースのいた表現がされたマーシャル・ストーンによって解決など格言を入れて、「常にtopologize」（マーシャルH.ストーン。ブール代数の表現、1938） 。$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

ブール代数に対するストーンの表現定理すべてのブール代数は、トポロジー空間のクローペンサブセットの格子と同型です。

主なアイデアは、あなたの場合、式への満足のいく割り当てが何であるかを考慮することです。一般的なケースでは、ブール代数から2要素ブール代数（真理値）への準同型を考慮します。の逆は、満足な割り当てのセット、またはブール代数のウルトラフィルターと呼ばれるものを提供します。これらから、ブール代数のスペクトルまたはストーン空間と呼ばれるトポロジを取得できます。石はあなたの質問への答えも提供します。$\mathit{true}$

ブール代数のストーン空間は、コンパクトで完全に切り離されたハウスドルフ空間です。

Stoneの表現をさまざまな方向に拡張および一般化するいくつかの結果がありました。自然な問題は、格子の他のファミリーがそのような表現を持っているかどうかを尋ねることです。ストーンの結果は、分配格子にも適用されます。任意の格子のトポロジカル表現は、1978年にAlasdair Urquhartによって与えられました。分布格子は、ブール代数と比較して構造の多様性が大きく、非常に興味深いものです。1970年、ヒラリー・プリーストリーは、分配されたケースの別の表現を、秩序だったトポロジー空間のアイデアを使用して与えました。セットベースの表現の代わりに、posetベースの表現とトポロジーを見つけることができます。

これらの論文の構成には、1つの注目すべき特性があります。Stoneの構成は、ブール代数をトポロジ空間にマッピングするだけではありません。ブール代数に関連する構造関係は、結果のトポロジ間の構造プロパティに変換されます。カテゴリ間の二重性です。そのような結果の全範囲は、Stone Dualityと呼ばれます。非公式には、双対性は、集合の組み合わせの世界、格子の代数の世界、トポロジーの空間の世界、論理の演ductiveの世界など、数学的な宇宙間の正確な翻訳を提供します。ここに役立ついくつかの出発点があります。

1. DaveyとPriestleyによる「格子と秩序の紹介」の第11章では、ストーンの定理について説明しています。
2. マシュー・グウィンのスライド は定理を覆い、コンパクトさの証明を与えます。マシュー（コメント内）は、Paul Halmosによるブール代数入門も提案しています。
3. 命題論理からモーダル論理に移行する際、ブール代数は結合保存演算子と内部のトポロジーで拡張されます。JonssonとTarskiの1952年の論文、演算子付きブール代数は、非常に読みやすく、現代の表記法と一致しています。
4. Blackburn、de Rijke、およびVenemaによるModal Logicの第5章では、Stoneの定理と演算子を使用したブール代数への拡張について説明します。
5. ピーター・ジョンストンによるストーンスペースは、他のさまざまな種類の代数についてそのような結果をレビューします。