解像度幅

リコールこと幅解像度反論するの CNF式のFは、で発生する任意の節におけるリテラルの最大数であるR。すべてのwについて、3-CNF st には満足できない式Fがあり、Fの解像度反論にはすべて、少なくともwが必要です。$R$$F$$R$$w$$F$$F$$w$

幅4の解像度反論を持たない3-CNF（可能な限り小さく単純な）で満たされない式の具体例が必要です。

次の例は、AtseriasとDalmauによる解像度幅の組み合わせの特性を示した論文からのものです（Journal、ECCC、著者のコピー）。

論文の定理2は、CNF式与えられた場合、Fの最大kの解像度反論は、実存（k + 1 ）小石ゲームでのスポイラーの勝ち戦略と同等であると述べています。実存する小石ゲームは、スポイラーとデュプリケーターと呼ばれる2人の競合するプレイヤー間でプレイされ、ゲームの位置はFの変数へのドメインサイズの最大k + 1の部分的な割り当てであることを思い出してください。で$F$$k$$F$$(k+1)$$k+1$$F$ -pebbleゲーム、空の割り当てから開始し、スポイラーから句を改ざんしたい$(k+1)$$F$一度に最大でブール値を記憶し、DuplicatorはSpoilerがこれを行わないようにしたいと考えています。$k+1$

この例は、鳩の巣の原理（の否定）に基づいています。

すべてのための及びJ ∈ { 1 、... 、N }、聞かせてP iは、jはその鳩意味命題変数であるiが穴に座っjは。すべてのためのI ∈ { 1 、... 、N + 1 }及びJ ∈ { 0 $i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$$j \in \{1, \dotsc, n \}$$p_{i,j}$$i$$j$$i \in \{1, \dotsc, n+1 \}$、せ$j \in \{0, \dotsc, n \}$は新しい命題変数です。次の 3 -cnf式 E P iはその鳩発現 iは、いくつかの穴に座った： E P I ≡ ¬ Y I 、0 ∧ N ⋀ J = 1（Y 、I 、J - 1 ∨ P I 、J ∨ ¬ Y I 、J）∧ Y I 、N$y_{i,j}$$3$${EP}_i$$i$

$${EP}_i \equiv \neg y_{i,0} \wedge \bigwedge_{j=1}^n (y_{i,j-1} \vee p_{i,j} \vee \neg y_{i,j} ) \wedge y_{i,n}.$$ 最後に、 -CNF式E P H P $3$鳩の巣原理の否定を発現する全ての組み合わせであるEPIと全節H、I 、Jと K ≡¬PI、K∨¬のPJ、K用のI、J∈{1、...、N+1}のk∈{1、...${EPHP}_n^{n+1}$${EP}_i$$H_k^{i,j} \equiv \neg p_{i,k} \vee \neg p_{j,k}$と$i,j \in \{1, \dotsc, n+1 \}, i \ne j$。$k \in \{1, \dotsc, n \}$

論文の補題6は、SpoilerがE P H P n + 1 nで小石ゲームに勝てないという、かなり短く直感的な証拠を与えます。したがって、E P H P n + 1 nには幅の解像度反論はほとんどありません$n$${EPHP}_n^{n+1}$${EPHP}_n^{n+1}$。$n-1$

この論文には、補題9の別の例があり、密な線形順序の原理に基づいています。

解像度反論の最小幅の計算はEXPTIME完了であり、さらに最小幅が少なくともk + 1であることを証明するために時間かかります（ FOCSまたはarXivの Berkholzの論文を参照））、おそらく、広い解像度の反論を必要とする可能性のある例を見つけるのは難しいですか？$\Omega(n^{(k-3)/12})$$k+1$