初等再帰関数の複雑さの結果は？

基本再帰関数に関する Chris Presseyの興味深い質問に興味をそそられ、私はより多くを調査していて、Webでこの質問に対する回答を見つけることができませんでした。

基本再帰関数は指数関数階層にうまく対応。 $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$

初等関数 よりも低い決定問題（term？）がEXPに含まれ、実際にはDTIME 含まれるべきであるという定義から簡単に思えます。これらの関数は、入力長が線形の出力文字列にも制限されています[1]。 $(2^{O(n)})$

しかし、その一方で、明確な下限はありません。一見すると、LOWER-ELEMENTARYにはNPが厳密に含まれている可能性があり、Pにいくつかの問題が含まれていない可能性があるか、おそらく私がまだ想像していない可能性が高い可能性があります。LOWER-ELEMENTARY = NPなら格好いいでしょうが、多すぎて要求できないと思います。

だから私の質問：

これまでの私の理解は正しいですか？
下位の基本再帰関数の境界となる複雑性クラスについて何がわかっていますか？
（ボーナス）再帰関数にさらに制限を加えるときに、複雑なクラスの特徴付けがありますか？私は特に、多項式時間で実行され線形出力を生成すると思う限界の合計をする制限について考えていました。または私は多項式時間で実行され、長さが最大で出力を生成すると思う、定数制限付きの合計。 $\log(x)$ $n + O(1)$

[1]：関数が複雑度とビット長出力を持っていると仮定すると、構造要素の誘導により、低次基本関数がこれらの制限を受けることを証明できます（私は信じています）長さ入力。 $h,g_1,\dots,g_m$ $2^{O(n)}$ $O(n)$ $n$ $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ 、、各は長さ出力があるため、には長さの入力（したがって長さの出力）があります。すべての sの計算の複雑さはあり、計算量はであるため、複雑度は $n := \log x$ $g$ $O(n)$ $h$ $O(n)$ $O(n)$ $g$ $m2^{O(n)}$ $h$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ そして主張されるように長さ出力。 $O(n)$

、 Sは、長さの出力を有する出力の和の値であるので、したがって、それらの合計の長さはです。これらの値を合計する複雑さは、（合計の数） $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ $g$ $O(n)$ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ $O(n)$ $2^n$ 各添加の（複雑さ）を与える、および出力を計算する複雑さは、によって囲まれる（計算の数）倍（それぞれの複雑さ）を与える。したがって、は複雑さと、主張されている長さ出力を持っています。 $O(n)$ $2^{O(n)}$ $2^{n}$ $2^{O(n)}$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ $O(n)$

— usul
ソース

あなたがリンクしているウィキペディアの記事は、より低い初等関数が多項式の成長を持っていると述べています（しかしそれは参照を与えません。）P-完全問題が初等関数で解決できるかできないかを示すことは、それをさらに固定するための良いステップになるでしょう。チューリングマシンをnステップでシミュレートすることは不可能ではないように見えません-おそらく、各状態遷移に対応する別の有界和のステップ数に対応する有界和ですか？

— Chris Pressey

@Chris-私の推測では、「多項式の成長」とは、出力のビット数が入力のビット数において線形にすぎないことを指します。シミュレーションは非常にもっともらしく、多項式時間で実行可能であるように思われます（ただし、これを確認するために詳細が必要になる場合があります）。

— usul

申し訳ありませんが、その最初の部分は明確ではないかもしれませんが、その後値の入力にためです

、出力が最大で多項式の値がある

。

x

$x$

x

$x$

— usul

質問3に関して：

制限された総和を持つバリアントで定義可能な関数はすべて、複雑度クラスUniform

ます。一定の有界合計を使用すると、均一な

サブクラスが得られます。

\log (x)

$\log(x)$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen、

@Xoff私はそれがすべての合計にあると信じています：（

ビットの入力で）

はサイズ

持つことができる

から

まで合計しています。したがって、合計は各加数のサイズの

倍になります。

1

$1$

x

$x$

n

$n$

x

$x$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— usul 2013年

（ボーナス）質問3に関して：制限された総和を持つバリアントで定義可能な関数はすべて、複雑度クラスUniform ます。これは、チャンドラ、ストックマイヤー、ヴィシュキンの「一定の深さの削減可能性」の構築、SIAM J. Computによるものです。13（1984）は、多数のゲートを備えた多項式サイズの一定深度回路によって、ビットの個の合計をそれぞれ計算できることを示しています。 $\log(x)$ $\mathsf{TC}^0$ $n$ $n$

一定の有界合計を使用すると、均一なサブクラスが得られます。一定の有界合計は加算と合成に削減でき、加算はキャリールックアヘッドメソッドを使用して一定深度ブール回路によって計算できます。 $\mathsf{AC}^0$

— ヤン・ヨハンセン
ソース

「下位の基本関数はEXPにあります」は正しいです。それらは実際にはDPSPACE（n）にあります。たとえば、構造誘導からわかるように。
ここでは、ブール充足可能性SAT がGrzegorczyk階層の最低レベルE ₀にあることが示されています[1]。つまり、制限付き合計ではなく制限付き再帰です。

[1] Cristian Grozea：NPは、Grzegorczyck（sic！）階層の最も弱いレベルで計算可能です。Journal of Automata、Languages and Combinatorics 9（2/3）：269-279（2004）。

基本的な考え方は、バイナリの長さnの与えられた式を、nのほぼ指数関数的な値の整数Nにエンコードすることです。次に、満足のいく割り当ての存在を、（nではなく）上記のNで囲まれた数量化の観点から表現します。

この方法は、E ₀から下位のエレメンタリーに引き継がれるようです
（任意の固定Kに対してSATからQBF _kに一般化するため）。

ただし、ポリタイム計算ではE ₂が残されることが知られているため、E ₀にNP（またはPでさえも）が含まれているとは限りません。

— マーティン・ジーグラー
ソース