（0,1）-ベクトルXOR問題

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これは、よく言われなかった私の最近の別の質問[1]の書き直しです（これは、半ば明らかな単純化であり、計器でした）が、その中心にはまだ重要な問題があると思います。文献では同様の問題がありましたが、特にこの問題はありません。

それが私にとって最も簡単なので、ビットベクトルの観点からそれを書きます。

サイズ、のビットベクトルのセットがあるとします。ビット単位のXOR演算を検討してください。ターゲットベクトル与えられます。セットのビットごとのXORがターゲットベクトルと等しくなるようなベクトルのサブセットを見つけます。サブセットを見つけるための効率的な（または理想的には最適な）アルゴリズムとは何ですか？ $n$ $v_1, v_2, v_3, ... , v_n$ $v_0$

総当たりアルゴリズムは、サイズパワーセットを列挙し、最初に見つかったサブセットをリストします。（わずかに？）より効率的には、ターゲットの1の位置を調べ、ターゲットの1の位置に1のベクトルが少なくとも1つないサブセットを除外します。 $2^n$

サブセットは存在する場合と存在しない場合があります。一意である場合とそうでない場合があります。

密接に関連する質問：（1）最小のサブセットを見つける、（2）そのようなサブセットが存在するかどうかに応じて出力T / F。

これらの問題の1つはNP完全であるという疑いがあります。

参照、洞察などを探す。「ハード」な入力と「イージー」な入力があるかどうかを知ることは興味深いでしょう。

私が他の質問で書いたように、これはNP完全であることが知られているサブセット合計問題（たとえば、garey＆johnson refを参照）と密接に関連しているようですが、ベクトルビット単位のXORを計算する方が簡単であるため、複雑さが「少し」少ないようです2進和よりも大きい（和は2進数字を持つことができる）。

この問題は、bin fuの最近の質問[2]とも密接に関連しているようです。

[1] /cstheory/10341/building-0-1-vectors-out-of-xors

[2] アルゴリズムベクトル問題

— vzn
ソース

2

この問題は、まさに「ベクトルがベクトル 2を法とする範囲内にあるか？」という問題です。場合 MOD 2線形独立であり、すべてのあり、この問題は、行列反転によって解くことができます。また、が独立していない場合でも、ガウスの消去法によって容易に解決できるはずです。「最小の満足するサブセット」問題は NP完全である可能性があります-それは本質的に「これらのベクトルの2を法とするスパンの中で最小の重みの非ゼロベクトルは何ですか？」-しかし、私はまだそれについて正確な答えを出すのに十分意識していません。

v_{0}

$v_0$

v_{1} . . v_{n}

$v_1..v_n$

v_{i}

$v_i$

v_{0}

$v_0$

v_{i}

$v_i$

— Steven Stadnicki

17

ましょう。問題は、次のシステムに解決策があるかどうかを判断することです。 $v_0, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{Z}_2^m$

(\begin{matrix} v_{1} & \dots & v_{n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = v_{0} (mod 2)

$\begin{pmatrix} v_1 & \cdots & v_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = v_0 \, (\text{mod } 2)$

この問題は[Damm90、BDHM92]によって -completeであることが知られており、したがって内部にあり。 $\oplus L$ $\text{NC}^2 \subseteq \text{P}$

[Damm90] Carsten Damm：問題が完了しました。INF 処理する。Lett。36（5）：247-250（1990）[BDHM92] Gerhard Buntrock、Carsten Damm、Ulrich Hertrampf、Christoph Meinel：Logspace-MODクラスの構造と重要性。数理システム理論25（3）：223-237（1992） $\oplus L$

— マイケル・ブロンディン
ソース

12

私のコメントの補足として：満足できる最小のサブセットを見つけることは、実際にはNP完全であるべきです。削減は最小重みコード問題（GF（2）を超えるコードの基礎が与えられた場合、コードの最小重みベクトルは何ですか？）に対するものであり、これは明らかにA. Vardyによって1997年にNP完全であることが証明されました： "コードの最小距離を計算する難しさ "、http：//ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp？arnumber = 641542

— スティーブン・スタドニツキ
ソース

私の記憶が正しければ、Vardyは特性2の有限体上の最小サブセット和問題からの簡約を使用します。これはNP完全であることが知られており、実際にOPが要求するものと同等です。

— Mahdi Cheraghchi

1

この問題の近似結果はありますか？

— Bin Fu

@binは、近似バリアントを考慮したこの参照に出くわしました。ギャップの最小距離の問題の決定論的な削減 Cheng / Wan＆役立つかもしれない他の参照を引用

— vzn