簡潔な問題

グラフの簡潔表現の研究をすることにより開始したGalperinとWigdersonそれらはグラフの三角形を見出すような多くの単純な問題に対応する簡潔なバージョンのことを証明する1983年から紙に -complete。PapadimitriouとYanakkakisはこの研究をさらに進め、 -complete / -completeである問題について、対応するSuccinctバージョン、すなわちSuccinctがそれぞれ -completeおよび -complete。（また、が$\mathsf{NP}$$\Pi$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\Pi$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{EXP}$$\Pi$$\mathsf{NL}$-complete、次に簡潔なは -completeです。$\Pi$$\mathsf{PSPACE}$

さて、私の質問は、既知の問題はありますか、対応する簡潔なバージョンはますか？上記で見逃したかもしれない他の関連する結果（もしあれば、肯定的な結果と不可能な結果の両方）について知りたいと思います。（簡潔、表現、問題、グラフなどの検索語はほとんどすべての複雑な結果につながるため、Google検索では興味のあるものを見つけることができませんでした！:)）$\Pi$$\mathsf{P}$

簡潔なバージョンに興味深い特性がある興味深い問題があります。Circuit-Size-を問題として定義しますビット文字列としてブール関数を指定すると、この関数は最大でのサイズの回路を持ちますか？ この問題はことに注意してください。$2^{n/2}$$2^n$$2^{n/2}$$NP$

Succinct-Circuit-Size-を定義する1つの方法は次のとおりです。定数、、サイズの回路与えられた場合、真理値表がインスタンスかどうかを知りたいCircuit-Size-。しかし、これは些細な問題です。実際の回路である入力はすべて、yesインスタンスです。したがって、この問題はます。$2^{n/2}$$k$$n$$n^k$$C$$2^{n/2}$$P$

Succinct-Circuit-Size-を定義するより一般的な方法は次のとおりです。任意の回路が与えられ、その真理値表がCircuit-Size-インスタンスをエンコードするかどうかを知りたい。しかし、もしへの入力の数であり、、の大きさ、及び、我々は自動的に受け入れることができる：入力自体は言語の証人です。そうでなければ、ます。その場合、入力長はすでに巨大なので、可能なすべての割り当てを試すことができます$2^{n/2}$$C$$2^{n/2}$$n$$C$$m$$C$$m \leq 2^{n/2}$$m \geq 2^{n/2}$$m$$2^n$$m^{O(1)}$時間の関数の真理値表を取得し、元の問題に再び戻ります。したがって、これは問題であり、その簡潔なバージョンもます。$NP$$NP$$NP$

この問題はではない と考えられています。Kabanets and Cai（http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/Research/circuit.html）の論文を参照してください$NP$

特定の簡潔な表現で表されるグラフに少なくとも1つのエッジが含まれるかどうかを決定することもCircuit SATと同等であり、したがってNP完全であると判断した場合でも、簡潔な表現の興味深いプロパティはすべてNP困難であると主張するのは魅力的です「興味深い」の適切な定義。この主張は、ライスの定理の複雑性理論の類似物になります。残念ながら、ライスの定理の最も一般的な複雑性理論的類似体を見つけることは未解決の問題ですが、そのような複雑性理論的類似体のいくつかの形を与える結果があります。

私はこれが答えだと言ったわけではありませんが、あまりにも多くのコメントが必要になるでしょう。役に立てば幸いです。

剛が指摘するように、すべての「非自明な」特性は難しい（たとえば、NP-hard）と推測するのは魅力的です。ただし、これを示すには、重要なものを定義する必要があります。ライスの定理では、重要なプロパティは、すべての計算可能な列挙可能な言語を含むプロパティと、計算可能な列挙可能な言語を含まないプロパティを除くすべてのプロパティです。簡潔な問題に対する非自明の正しい定義が何であるかはあまり明確ではありません。すべての文字列を含む、または文字列を含まないプロパティは、Pにあります。しかし、Pには他にもあります。たとえば、中間ビットが0である文字列に一致するプロパティまたは、は、番目のビットごとにとなるビットのすべての文字列が含まれます。$\Pi$$\Pi$$2^n$$2^n/x$$x = n^{O(1)}$。それでは、このタイプのプロパティを包含するために「自明」をどのように定義するのでしょうか？

1つのアイデアは、「対称」なを調べることです。文字列がにある場合、のビットの置換もます。このようなプロパティは、文字列の1ビットの数にのみ依存します。剛がリンクした質問への回答で、ライアン・ウィリアムズはこの論文へのリンクを提供し、そのような問題はすべて困難です。$\Pi$$s$$\Pi$$s$$\Pi$

「自明でない財産」を定義する他のアイデアは？は、ブール関数（各文字列の長さのプロパティのインジケーター関数）のファミリーとして見ることができます。非自明なプロパティは、ブール関数の対応するファミリーが非自明な複雑さを持っているものであるように思えます。たとえば、関連付けられたブール関数ファミリが線形決定ツリーの複雑さを持つプロパティが難しいことを示すことができますか？$\Pi$