ランダウ用語の和の再訪
私は以前にランダウ項の合計について(シード)質問をしました。算術における漸近表記を乱用することの危険性を測定しようとして、混合成功しました。 さて、ここで私たちの再発の達人JeffEは本質的にこれを行います: ∑i=1nΘ(1i)=Θ(Hn)∑i=1nΘ(1i)=Θ(Hn)\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n) 最終結果は正しいですが、これは間違っていると思います。どうして?暗黙の定数(上限のみ)の存在をすべて追加すると、 。∑i=1nci⋅1i≤c⋅Hn∑i=1nci⋅1i≤c⋅Hn\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n 今、どのように計算を行うからC 1、... 、C nは?答えは、私たちは不可能だと私は信じています。cはすべてのnにバインドする必要がありますが、nが大きくなるにつれてc iが増えます。それらについては何も知りません。C 私は非常によくに依存してもよいI有限:我々はバウンド負いかねますので、cが存在しない場合があります。cccc1,…,cnc1,…,cnc_1, \dots, c_ncccnnn cicic_innncicic_iiiiccc さらに、左側にある変数が無限大になるこの微妙な問題がありますまたはn?どちらも?場合のn(互換性のため)、の意味するものであるΘ (1 /私が)ことを知って、1 ≤ I ≤ nは?Θ (1 )を意味するだけではありませんか?もしそうなら、合計をΘ (n )より上に制限することはできません。iiinnnnnnΘ(1/i)Θ(1/i)\Theta(1/i)1≤i≤n1≤i≤n1 \leq i \leq nΘ(1)Θ(1)\Theta(1)Θ(n)Θ(n)\Theta(n) それで、それはどこに私たちを残すのでしょうか?それは露骨な間違いですか?微妙なもの?それとも、表記のいつもの乱用であり、我々は見てはならないコンテキストのうち、このような兆し?ランダウ項の(特定の)合計を評価するための(厳密な)正しいルールを作成できますか?=== 主な質問は:は何ですか?我々は(それはそれとしては、一定の考慮した場合である和の範囲内で)我々は簡単に反例を構築することができます。一定でないと、どう読むかわかりません。iii