ランダウ用語の和の再訪

私は以前にランダウ項の合計について（シード）質問をしました。算術における漸近表記を乱用することの危険性を測定しようとして、混合成功しました。

さて、ここで私たちの再発の達人JeffEは本質的にこれを行います：

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

最終結果は正しいですが、これは間違っていると思います。どうして？暗黙の定数（上限のみ）の存在をすべて追加すると、

。 $\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$

今、どのように計算を行うから？答えは、私たちは不可能だと私は信じていますはすべてのにバインドする必要がありますが、が大きくなるにつれてが増え。それらについては何も知りません。非常によくに依存してもよい有限：我々はバウンド負いかねますので、存在しない場合があります。 $c$ $c_1, \dots, c_n$ $c$ $n$ $c_i$ $n$ $c_i$ $i$ $c$

さらに、左側にある変数が無限大になるこの微妙な問題がありますまたは？どちらも？場合（互換性のため）、の意味するものであることを知って、？意味するだけではありませんか？もしそうなら、合計をより上に制限することはできません。 $i$ $n$ $n$ $\Theta(1/i)$ $1 \leq i \leq n$ $\Theta(1)$ $\Theta(n)$

それで、それはどこに私たちを残すのでしょうか？それは露骨な間違いですか？微妙なもの？それとも、表記のいつもの乱用であり、我々は見てはならないコンテキストのうち、このような兆し？ランダウ項の（特定の）合計を評価するための（厳密な）正しいルールを作成できますか？ $=$

主な質問は：は何ですか？我々は（それはそれとしては、一定の考慮した場合である和の範囲内で）我々は簡単に反例を構築することができます。一定でないと、どう読むかわかりません。 $i$

terminology asymptotics landau-notation

— ラファエル
ソース

math.SEに関するこの質問は、一般的にランダウ項を使った算術についての良い読み物です。

— ラファエル

あなたが与えたリンクから、等式はサブセット関係または「ある」関係（すなわち

）のいずれかであることが

ます。

あなたはそれが一定で上方および下方に囲まれています言っています。なぜ選択していない

し、

？

\in

$\in$

Θ

$\Theta$

c = min (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$c = \min(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

C = max (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$C = \max(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

— user834 2012

ちょっと待って、バッキー。そこにシータを付けた要約は書きませんでした。シータを入れて再発を書きました。あなたは本当に再発解釈しない"

"以外のものとして、「ある関数

となるよう

t (n) = Θ (1 / n) + t (n - 1)

$t(n) = \Theta(1/n) + t(n-1)$

f \in Θ_{x \to \infty} (x \mapsto 1 / x)

$f \in \Theta_{x\to \infty}(x\mapsto 1/x)$

"？

t (n) = f (n) + t (n - 1)

$t(n) = f(n) + t(n-1)$

— JeffE 2012

@Raphaelいいえ、再発はありませんあなたが記述正確な理由のために、数学的に合計と同じ！再帰には、シータ項が1つだけあります。これは、単一の関数を明確に指します。

— JeffE 2012

それはあまり直感的ではありません —私は強く同意しませんが、それは好みと経験の問題だと思います。

— JeffE 2012

回答:

次の規則で私には正しいように見えます：

のための便利な表記法であります $S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$

ある（AS こと）ように $f(x) \in \Theta(1/x)$ $x \to \infty$

。 $S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$

したがって、取得する（またはこの回答の表記）は、実際には依存しません。 $c_i$ $c_k$ $k$

この解釈の下では、であることは確かに事実です。 $S_n = \Theta(H_n)$

実際には、ジェフの答えでは、彼は示していここで、それは上記の解釈と一致しているので。 $T(k+1) = f(k) + T(k)$ $f \in \Theta(1/k)$

混乱は、を精神的に「アンロール」し、出現ごとに異なる機能を推定することから生じているようです... $\sum$ $\Theta$

— アリヤバタ
ソース

JUPが、すべて

できる独自の機能、および定数を持っています。したがって、この規則はコンテキストでのみ機能します。つまり、ランダウ項が加

（

および

）ある程度「均一」な定義に由来していることがわかっている場合です。

Θ

$\Theta$

k

$k$

n

$n$

— ラファエル

@Raphael：展開して別の

許可しても意味がないようです。定数は変数に依存します！それは間違った用法なる

とすると、

変数である

（又は

上記回答で）。変数が

であると仮定しても、それはまだ私には無意味に見えます。

f_{i}

$f_i$

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

i

$i$

k

$k$

n

$n$

— Aryabhata

原則として、すべての

は独自の定数を持つことができますが、説明する特定のコンテキストでは、すべての

が独自の定数を持たないことは明らかです。

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

— JeffE 2012

@JeffE：そうです。私たちは、複数持つことができ

限り定数が:-)本当に一定であるとして、自分の定数で

Θ

$\Theta$

— アリヤバータ

@JeffEそれでは、どうしてあなたは自分が何を意味するのかを書くだけでなく、曖昧な/間違ったものを好むのですか？私の更新された答えは今それを行う方法を提案していることに注意してください。それについてのコメントをいただければ幸いです。理由のない反対投票は、なぜ人々が私の主張を拒否しているように見えるのかを理解するのに役立ちません。

— ラファエル

私は問題を書き留めたと思います。本質的には、Landau項を使用すると、summand関数の変数が合計の実行中の変数から分離されます。ただし、私たちはそれらを同一のものとして（したがって）読みたいので、混乱が生じます。

それを正式に開発するために、何をしますか

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

$\Theta$ $i$ $n$ $n \to \infty$ $\Theta(n)$ $n$ $i$

$(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

$i$ $i$ $f_i$ $i$ $f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

$\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$ $j$ $i$ $\Theta$ $i$ $n$ $i$ $\Theta$

$f_i$ $n$

結論として、提案されたアイデンティティは偽物です。もちろん、厳密な計算の省略形などの合計の読み方に関する規約に同意することもできます。しかし、そのような慣習はランダウ用語の定義と互換性がなく（通常の乱用と一緒に）、少なくとも文脈なしでは正しく理解できず、誤解を招く（初心者にとって）-しかし、それは最終的には好み（そして冷酷さ）の問題です？）。

$\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

$\Theta$

数学的に正しいステートメントと
$\Theta$

したがって、これは問題を書き留めるのに正しい方法であり、有用な方法であるように思えます。したがって、合計の外側のランダウシンボルを使用する場合は、合計の外側にあるランダウシンボルを使用するよりも優先する必要があります。

— ラファエル
ソース

\sum_{i}^{n} i

$\sum_i^n i$

f_{i} (n) = i

$f_i(n)=i$

i

$i$

\sum_{i}^{n} i = \sum_{i}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_i^n i = \sum_i^n O(1) = O(n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

Θ

$\Theta$

i

$i$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

\sum_{i}^{n} k = n k

$\sum_i^n k = nk$

n O (f) = O (n f)

$nO(f)=O(nf)$

f

$f$

f_{i}

$f_i$

f_{i}

$f_i$

i

$i$

5, 1, 3, 2, \dots

$5,1,3,2,\dots$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

f_{1} (x) = 5, f_{2} (x) = 1, \dots

$f_1(x)=5,f_2(x)=1,\dots$

-1

$c_i$ $c_{max}$ $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$

\sum c_{i} f (i) \leq \sum c_{m a x} f (i) = c_{m a x} \sum f (i) = O (\sum f (i))

$\sum c_i f(i) \leq \sum c_{max} f(i) = c_{max} \sum f(i) = O\left(\sum f(i)\right)$

$1/i\not=\Theta(1)$ $o(1/n)$ $\epsilon$ $\forall i: 1/i>\epsilon$ $no(1/n)=o(1)$ $O(1)$ $O(n)$ 。そのため、この方法では厳しい境界を見つけることができません。

あなたの質問は：

$\sum_i^n f(i)$ $n$
より良い方法はありますか？（回答：私が知っていることではありません。）

うまくいけば、他の誰かがより明確に＃2に答えることができます。

編集：あなたの質問をもう一度見て、あなたが尋ねていると思います

$\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$

$\Theta$

$c_i=i$ $c_{max}$ $c_i$ $i$

$c_i i$ $\Theta(i)$ $\Theta(i^2)$ $i$ $i$

$1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$ $n$

$1,\dots,n$

$f(i_{min})$ $f(i)$ $1,\dots,n$

\sum_{i}^{n} f (i) \geq \sum_{i}^{n} f (i_{m i n}) = n f (i_{m i n}) = n o (f (n))

$\sum_i^n f(i) \geq \sum_i^n f(i_{min}) = n f(i_{min}) = n o(f(n))$

上限についても同様の証明を行うことができます。

$H_n = o(n)$ $H_n = \Theta(\log n)$ $H_n$ $n$ $\log n$ $\Theta(\log n)$ $o(n)$

— Xodarap
ソース

c_{m a x}

$c_{max}$

(c_{i})_{i \in N}

$(c_i)_{i \in \mathbb{N}}$

c_{i} = i

$c_i = i$

H_{n} = o (n)

$H_n=o(n)$

H_{n} \in Θ (\ln n)

$H_n \in \Theta(\ln n)$

1 / i \neq Θ (1)

$1/i\not=\Theta(1)$

o (1 / n)

$o(1/n)$

1 / i \geq 1 / n

$1/i \geq 1/n$

1 / i \in Ω (1 / n)

$1/i \in \Omega(1/n)$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

私はまだあなたの言っていることが理解できないので、あなたがそれを理解できて嬉しいです:-)

— Xodarap