2部グラフが平面であり、頂点の周りにエッジがないエッジの条件

それは持っていないときに限り二部グラフは平面であるまたはK 5未成年者。$K_{3, 3}$$K_5$

頂点の「回り込み」エッジのない平面描画を可能にするために必要または十分な条件を探しています。これらは次の条件を満たす図面です。

1. 1つのパーツのすべての頂点が単一の垂直線上に描画されます。他の部分の頂点は、平行なバーティクルライン上に描画されます。
2. エッジは頂点以外では交差しません。
3. エッジはすべて、ポイント1の2つの垂直線の間の無限ストリップにあります。

たとえば、右下以外のすべての図面は例ではありません。左下のグラフは、QとRの位置を入れ替えることにより、条件を満たすように再描画できます。上の2つのグラフは、条件を満たすために再描画することはできません。

上の2つのグラフは、私が見つけた唯一の障害物です。私の質問は：

1. この問題に名前はありますか？
2. 私が見逃した他の障害物はありますか？
3. もちろん、未成年者としてのこれら2つの障害物（および私が見逃したもの）が未成年者であることを証明する方法についてのヒントは必要十分です。

この外側平面であることと同じではないことに留意されたい外側平面である（正方形として描画することができる）が、それは私は上記言及した条件を満たすように描くことができません。$K_{2, 2}$

グラフは、正確にパス幅 グラフ、またはそれぞれのコンポーネントがキャタピラーであるフォレストです。キャタピラーには2つの関連する特性があります。$1$

• それらは、以上の次数のすべての頂点を含む単一のパスが存在するツリーです  。$1$

• それらは、すべての頂点に最大2つの非リーフ隣接があるツリーです。

補題1.すべての幼虫がクラスにいます。

証明。ましょうキャタピラであるとせP = X 1 ... X ℓ程度のすべての頂点を含む最長のパスで  2以上。極大性により、その音符D （X 1）= D （Xのℓは）= 1。我々は、描画生成することができる  Gを第一の延伸により  Pジグザグとして、その後学位添加1つのに隣接する頂点を  X Iは、間にX I - 1と  X $G$$P=x_1\dots x_\ell$$2$$d(x_1)=d(x_\ell)=1$$G$$P$$1$$x_i$$x_{i-1}$。 $x_{i+1}$$\Box$

補題2.クラス内のすべてのグラフは非循環です。$G$

証明。仮定サイクル含まれ、X 1 、Y 1 、X 2 Y 2 ... X K 、Y 、K 、X 1、それが必要なフォームの描画を有していると仮定する。Wlog、x 2  は  x 1の上にあります。しかし、そうでなければ、ラインx 1 y 1と  x 2 y 2が交差するので、y 1の上に  y 2がなければなりません。帰納法により、x i + 1  は上 $G$$x_1y_1x_2y_2\dots x_ky_kx_1$$x_2$$x_1$$y_2$$y_1$$x_1y_1$$x_2y_2$$x_{i+1}$全てに対して I ∈ { 1 、... 、K - 1 }と同様のため 、Yさん。しかし、すべてのライン y k x 1は、頂点の2つの列の間の領域を離れるか、サイクルの1つおきのエッジと交差する必要があります。これは、グラフが適切に描画されているという私たちの仮定に矛盾しています。$x_i$$i\in\{1, \dots, k-1\}$$y$$y_kx_1$$\Box$

補題3.接続されているすべての非キャタピラーがクラスに含まれていない。

証明。してみましょうキャタピラではない連結グラフも。サイクルが含まれている場合は、補題2ではクラスに含まれない  ため、ツリーであると見なす場合があります。キャタピラーでない場合は、それぞれに次数が少なくとも2である、   明確な近傍y 1、y 2および  y 3を持つ頂点xが含まれている必要があります  。$G$$2$$x$$y_1$$y_2$$y_3$$2$

必要なプロパティを備えた図面が  あるとします。Wlog、y 2  は  y 1の上にあり、y 3  は  y 2の上にあります。ましょうzは≠ Xの近隣である  Y 2。エッジ  y 2 zは、x y 1または  x y 3と交差する必要があります。これは、グラフに必要な形式の描画があるという仮定とは矛盾しています。 $G$$y_2$$y_1$$y_3$$y_2$$z\neq x$$y_2$$y_2z$$xy_1$$xy_3$$\Box$

定理。グラフのクラスは、まさにその構成要素がキャタピラーであるフォレストのクラスです。

証明。してみましょうグラフとします。明らかに、G  がクラスに含まれるのは、すべてのコンポーネントが次の場合に限られます。必要に応じてコンポーネントを描画できない場合、グラフ全体を描画できません。必要に応じてすべてのコンポーネントを描画できる場合は、コンポーネントを上下に並べてグラフ全体を描画できます。結果はLemmas 1と  3に続きます。 $G$$G$$1$$3$$\Box$

当然です。グラフのあなたのクラスはありません、グラフのクラスであるかの細分化  K 1 、3、マイナーなど。$K_3$$K_{1,3}$

証明。これらは、パス幅障害物です $1$。 $\Box$

$K_3$$K_4$$K_3$$K_{1,3}$

だから、次の答えは私が思いついたものです：

すでに述べたように、再配置できない可能性のあるケースは2つしかありません。

$U$$V$

編集：すみません、グラフを読み間違えました。

$K_{2,2}$

他のサブグラフが有効であることを証明するには、次のことを想像できます。

$e$

最初のケースは、最初のエッジと同じノードで開始も終了もしないノードがある場合です。これで問題なく残り、挿入を続行できます。

$V_1$$V_2$$V_3$$V_4$

$V1-V4$

ここでも、3つのソリューションしか見つかりません。終了接続をトレースするか、以前に実行したステップを繰り返します（残りのすべてのステップをトレースします）。最終ノードに到達した場合、トレースされたすべてのノードを交換できます。

$K_{2,2}$

編集：この証明を2番目のケースに拡張するには、次の条件を確認する必要があります。

一般に、少なくとも1つのハブ（3つ以上の接続）を持つサブグラフがある場合、「かなり簡単」です。

$\langle k\rangle > 1$

私自身はこの分野での知識はわずかですが、可能な解決策を提供したいので、1つの（うまくいけば）適切な記事をリンクしました

誰かがこの問題に名前を付けるとしたら、特にファリーの定理と完全な二部サブグラフの考えをフォローアップすることによってのみこの解決策を思いついたので、私は学ぶことに興味があります。