タグ付けされた質問 「incompleteness」

私は常に、上記の質問に対する答えは以下の線に沿って肯定的であると漠然と考えてきました。ゲーデルの不完全性定理と停止問題の決定不能性は、決定可能性についての否定的な結果であり、対角線の議論によって確立されました（そして1930年代）。したがって、それらは何らかの形で同じ問題を見る2つの方法でなければなりません。そして、私はチューリングが普遍的なチューリング機械を使用して、停止の問題が解決できないことを示すと思った。（このmath.SEの質問も参照してください。） しかし、今（計算可能性のコースを教える）私はこれらの問題をより詳しく見て、私が見つけたものにかなり困惑しています。だから私は私の考えをまっすぐにするのに助けが欲しい 一方で、ゲーデルの対角論は非常に微妙であることに気付きます。それは、それ自体の導出可能性について何かを言うと解釈できる算術ステートメントを作成するために多くの作業が必要です。一方、私がここで見つけた停止問題の決定不能性の証明は非常に単純であり、普遍的なチューリングマシンの存在は言うまでもなく、チューリングマシンについても明示的に言及していません。 ユニバーサルチューリングマシンに関する実際的な質問は、ユニバーサルチューリングマシンのアルファベットが、シミュレートするチューリングマシンのアルファベットと同じであることが重要であるかどうかです。適切な対角引数を作成するためにそれが必要だと思っていました（マシンにそれ自体をシミュレートさせる）が、ネット上で見つけたユニバーサルマシンの説明の戸惑うコレクションでこの質問に注意を見つけていません。停止の問題ではない場合、普遍的なチューリングマシンは対角線の引数で有用ですか？ 最後に、私はこのさらなるセクションに混乱しています同じWP記事の中で、ゲーデルの不完全性のより弱い形式は、停止する問題から生じていると述べています。矛盾を導き出せなければ理論は一貫していることを知っています。自然数に関する完全な理論は、自然数に関するすべての真の記述がそこから導き出せることを意味するように思えます。私はゲーデルがそのような理論は存在しないと言っていることを知っていますが、そのような仮説の獣がどのように健全である可能性があるのか​​を見ることができません。 、したがって完全性によっても導出可能であり、一貫性と矛盾します。 これらの点のいずれかについて明確化をお願いします。

76 computability  logic  halting-problem  incompleteness 

私は最近、矛盾による証明の有効性について考えていました。直観主義の論理とゲーデルの定理に関する過去数日間の記事を読んで、質問に対する答えが得られるかどうかを確認しました。今はまだ質問が残っており（おそらく私が読んだ新しい資料に関連する）、いくつかの答えが得られることを望んでいた （警告：あなたは論理の非常に混乱した基盤でコンテンツを読みに行こうとしている、すべてを一粒の塩で取り、それは答えではなく質問であると仮定し、それに多くの誤解があります）。 私の主な質問は、Aが何らかの矛盾につながることを示したら、Aが偽であってはならないことを示したら、Aが真でなければならないと結論付けることだと思います。その部分は理にかなっています（特に、除外された中間の法則を理にかなっているものとして受け入れる場合）が、気になるのは、矛盾による証明が実際にどのように発生するかです。まずAではなくAから始めて、公理と推論の規則を（機械的に言うと）適用し、それが私たちをどこに導くかを見てみましょう。通常、矛盾に達します（たとえば、Aがtrueまたはおよびがtrue）。私たちは、Aが偽であってはならないと結論付け、Aは真です。それはいいです。しかし、私の質問は、正式なシステムにはどのような保証がありますか¬φ¬φ\neg \varphiϕϕ\phi同じプロセスを適用したが、Aで開始した場合、矛盾も生じないでしょうか？Aの同じプロセスが同様に行われた場合、矛盾に到達しないという矛盾によって、いくつかの隠れた仮定が行われていると思います。不可能な証拠はありますか？言い換えれば、ターニングマシン（TM）（またはスーパーTM）が永遠に続き、おそらく公理からのすべての論理的ステップを、本当のステートメントAから始めて試行した場合AAA、矛盾を見つけるために停止しないことが保証されます？ その後、私は過去の質問と、ゲーデルの次のような不完全性定理との関係を作りました。 算術を表現する形式システムFは、（F内で）独自の一貫性を証明できません。 これは基本的に、それが本当なら一貫性、つまりAではなくAが起こらないことを保証することは不可能であることを私に明確にした。したがって、矛盾による証明は、一貫性が何らかの形で保証されていると暗黙的に仮定するだけであるように思われました（そうでなければ、なぜその一貫性をまだ知らなかった場合、Aが可能でないことを証明することによってAが真であると結論付けますか？そして、A）ではなくA）のステートメントのペアについては、矛盾はありませんか？これは間違っていますか、何か見落としましたか？ 次に、除外された中間のルールを公理に含めるだけで、すべての問題が解決されると考えました。しかし、気が付いたのは、それをやるのであれば、それを処理するのではなく、単に問題を定義するだけだということです。定義によってシステムの整合性を強要しただけでは、必ずしも実際に整合性があるとは限りません...そうでしょうか？私はこれらのアイデアを理解しようとしているだけで、何をすべきかはよくわかりませんが、これらの概念、矛盾、排他的ミドルのほぼすべての側面で何かを読んでビデオを見た後、これが実現しています直観主義論理、ゲーデルの完全性および不完全性定理… これに関連して、除外された中間（または矛盾）のルールなしに何かが偽であることを実際に直接証明することは本質的に不可能であると思われます。証明システムは真の陳述を証明するのに優れているようですが、私の理解では、物事が偽であることを直接示すことはできません。おそらく、彼らがそれを行う方法は、矛盾（間接的に何かが間違っているか悪いことが起こるはずだと示す）、または除外された中間（一方のAのみの真理値を知っているかAが他の真実を私たちに与える場合）または反例を提供します（基本的に反対のことが当てはまるので、除外された中間の法則を間接的に使用します）。何かが間違っているという建設的な証拠が本当に欲しいのでしょうか？ Aが偽ではないことを証明すれば（矛盾を受け入れると）本当に大丈夫であり、Aにすべての推論規則と公理を無限に適用する必要はなく、Aが勝ったことが保証されていることを知っていると思います矛盾に到達しないでください。それが本当なら、矛盾による証明をもっと簡単に受け入れることができると思います。これは本当ですか、またはゲーデルの2番目の不完全性は、私がこれを所有できないことを保証しますか？私がこれを持てなければ、私が困惑するのは、長年の数学者が私たちが矛盾を発見していない数学をすることで、それがどのように可能かということです。一貫性の経験的証拠に頼る必要がありますか？または、たとえば、FがFであると証明することでF教授は一貫していますが、実際にはSuperFとFだけは必要ないので、本当に機能するコンテンツにはなれませんか？ 私は自分の苦情が直接的な証拠にも一般化されていることに気づきました。わかりましたので、Aの直接証明を行った場合、Aが真であることがわかります...しかし、A以外の直接証明を行った場合、正しい証明も得られないことをどのように確認できますか？同じ質問を強調しているように見えます。

19 logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness 

一貫性と完全性は健全性を意味するという質問を読んでいましたか？そして、その中の最初の文は言う： 健全性は一貫性を意味することを理解しています。 健全性は一貫性よりも弱い表現だと思っていたので、私は非常に困惑していました（つまり、一貫性のあるシステムは健全でなければならないと思っていましたが、それは真実ではないと思います）。一貫性と健全性のために、MITの6.045 / 18.400コースで Scott Aaronsonが使用していた非公式の定義を使用していました。 健全性=証明システムは、証明するすべてのステートメントが実際に真実である場合に証明されます（証明可能なものはすべて真実です）。すなわち、IF（は証明可能）（はTrue）。したがって、IF（式へのパスがあります）THEN（その式はTrueです）ϕϕ\phi⟹⟹\impliesϕϕ\phi 一貫性=一貫性のあるシステムは、決してAとNOT（A）を証明しません。したがって、1つのAまたはその否定のみがTrueになります。 これらの（おそらく非公式の）定義を念頭に置いて、健全ではあるが一貫性のないシステムがあることを示すために、次の例を作成しました。 CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}}CharlieSystem≜{Axioms={A,¬A},InferenceRules={NOT(⋅)}} CharlieSystem \triangleq \{ Axioms=\{A, \neg A \}, InferenceRules=\{NOT(\cdot) \} \} サウンドシステムだと思った理由は、公理が正しいと仮定するからです。したがって、AではなくAが両方とも当てはまります（はい、除外された中間の法則は含まれていません）。唯一の推論規則は否定であるため、公理からAではなくAの両方に到達し、互いに到達できることがわかります。したがって、このシステムに関してはTrueステートメントのみに到達します。ただし、システム内の唯一のステートメントの否定を証明できるため、もちろんシステムは一貫していません。したがって、サウンドシステムには一貫性がない可能性があることを示しました。この例が間違っているのはなぜですか？私は何を間違えましたか？ 私の頭の中でこれは直感的に理にかなっています。健全性とは、推論ルールから始めて公理とクランクを設定すると、真の目的地（ステートメント）にのみ到達するということです。ただし、実際にどの目的地に到着したかはわかりません。ただし、一貫性は、または（両方ではない）に到達する宛先にのみ到達できることを示しています。したがって、すべての一貫したシステムには、公理として除外された中間の法則を含める必要があります。もちろん、私はそうではなく、唯一の公理の否定を他の公理として含めました。だから、私があまりにも賢いことをしたとは思わないが、どういうわけか何かが間違っていますか？¬ AAAA¬A¬A\neg A 私はスコットの非公式の定義を使用しているため、それが問題になる可能性があることに気づきました。質問を書く前でもウィキペディアをチェックしましたが、その定義は私には意味がありませんでした。特に彼らが言う部分： システムのセマンティクスに関して 完全な引用は次のとおりです。 システムで証明できるすべての式は、システムのセマンティクスに関して論理的に有効です。

12 terminology  logic  first-order-logic  propositional-logic  incompleteness 

この質問が以前に尋ねられたことをお詫びしますが、重複を見つけることができませんでした。 The Annotated Turingを読み終えたばかりで、少し混乱しています。 私の理解から、Entscheidungsproblemは、ステートメントが証明可能かどうかを判断できるアルゴリズムが存在するかどうかです。この論文では、チューリングは証明可能なすべての公式を証明するKマシンを定義しています。これはほとんど問題の解決策のようですが、後でチューリングは書いています： ゲーデルが示したことの否定が証明された場合、つまり、各Aについて、Aまたは-Aのいずれかが証明可能な場合、我々はEntscheidungsproblemの即時解を持つ必要があります。証明可能なすべての公式を連続して証明するマシンKを発明できるからです。遅かれ早かれ、KはAまたは-Aに到達します。Aに達した場合、Aが証明可能であることがわかります。-Aに達した場合、 Kは一貫しているため（ヒルベルトとアッカーマン、p.65）、Aは証明できないことがわかります。 ゲーデルの定理は、一部のステートメントは真実であるが証明できないことを示しました。私が理解していないことは、ゲーデルの結果がチューリングのKマシンがEntscheidungsproblemのソリューションになるのをどのように妨げているかだと思います。それは、Kマシンが決して遭遇しないいくつかの式があるのと同じくらい簡単ですか？それで、それは永遠に実行し続け、その式が証明不可能であると決して結論付けません。

7 computability  turing-machines  logic  decision-problem  incompleteness