ゲーデルの不完全性定理、停止問題、普遍的なチューリングマシンの間に具体的な関係はありますか？

私は常に、上記の質問に対する答えは以下の線に沿って肯定的であると漠然と考えてきました。ゲーデルの不完全性定理と停止問題の決定不能性は、決定可能性についての否定的な結果であり、対角線の議論によって確立されました（そして1930年代）。したがって、それらは何らかの形で同じ問題を見る2つの方法でなければなりません。そして、私はチューリングが普遍的なチューリング機械を使用して、停止の問題が解決できないことを示すと思った。（このmath.SEの質問も参照してください。）

しかし、今（計算可能性のコースを教える）私はこれらの問題をより詳しく見て、私が見つけたものにかなり困惑しています。だから私は私の考えをまっすぐにするのに助けが欲しい 一方で、ゲーデルの対角論は非常に微妙であることに気付きます。それは、それ自体の導出可能性について何かを言うと解釈できる算術ステートメントを作成するために多くの作業が必要です。一方、私がここで見つけた停止問題の決定不能性の証明は非常に単純であり、普遍的なチューリングマシンの存在は言うまでもなく、チューリングマシンについても明示的に言及していません。

ユニバーサルチューリングマシンに関する実際的な質問は、ユニバーサルチューリングマシンのアルファベットが、シミュレートするチューリングマシンのアルファベットと同じであることが重要であるかどうかです。適切な対角引数を作成するためにそれが必要だと思っていました（マシンにそれ自体をシミュレートさせる）が、ネット上で見つけたユニバーサルマシンの説明の戸惑うコレクションでこの質問に注意を見つけていません。停止の問題ではない場合、普遍的なチューリングマシンは対角線の引数で有用ですか？

最後に、私はこのさらなるセクションに混乱しています同じWP記事の中で、ゲーデルの不完全性のより弱い形式は、停止する問題から生じていると述べています。矛盾を導き出せなければ理論は一貫していることを知っています。自然数に関する完全な理論は、自然数に関するすべての真の記述がそこから導き出せることを意味するように思えます。私はゲーデルがそのような理論は存在しないと言っていることを知っていますが、そのような仮説の獣がどのように健全である可能性があるのか​​を見ることができません。 、したがって完全性によっても導出可能であり、一貫性と矛盾します。

これらの点のいずれかについて明確化をお願いします。

チューリングマシンとRosserの定理による不完全性定理の証明に関するScott Aaronsonのブログ投稿を確認することをお勧めします。不完全性定理の彼の証明は非常にシンプルで簡単に理解できます。

Neel KrishnaswamiのHalting問題、計算不可能なセットに対する答え：一般的な数学的証明？ CSTheoryでは、カテゴリー理論の傘の下で上記の結果を結び付ける参考文献を示しています。

（これはSureshの回答に対するコメントであるはずですが、長すぎてそこに収まらないので、Marcの質問に実際に答えていないことを事前に謝罪します。）

Neelの答え、ホールティング問題、計算不可能なセット、一般的な数学的証明を見つけましたか？ CSTheoryとAndrej Bauerのブログ投稿には、2つの理由で不満があります。

まず、通常、接続を説明するためにすべてのカテゴリー理論の専門用語は必要ありません。決定不可能な言語の存在は、非常に基本的な対角証明を持つカントールの定理によって暗示されます。その理由は、プログラムのセットがと同等だからです。一方、各言語はサブセットと見なすことができるため、すべての言語のセットはと同等です。カントールの定理により、からへの射影は存在しないため、決定不可能な言語が存在する必要があることがわかります。N P（N）N P（N$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$$\mathcal{P}(\mathbb{N})$$\mathbb{N}$$\mathcal{P}(\mathbb{N})$

第二に、妥当な決定不能な言語の例を「見たい」ため、上記の証明は不十分です。上記の証明は重要な議論であり、その意味では実際には「建設的」ではありません。チューリングは、そのような例として停止の問題を発見しました。

ユニバーサルチューリングマシンは、たとえば、時間または空間の複雑さの階層におけるいくつかのクラスの分離など、いくつかの対角引数に役立ちます。ユニバーサルマシンは、決定問題があることを証明するために使用されますただし、はありません。（より良い境界はWPの記事にあります）DTIME（f （n / 2 ）$\mbox{DTIME}(f(n)^3)$$\mbox{DTIME}(f(n/2))$

ただし、完全に正直に言うと、よく見ると、ユニバーサルマシンは「ネガティブ」な部分では使用されていません。証拠は、停止問題の時間制限バージョンを解決するマシンがあると仮定してから、ビルドに進みます。（ここにはユニバーサルマシンはありません）ユニバーサルマシンは、時間制限付きの停止問題をより長い時間で解決するために使用されます。¬ K $K$$¬KK$

「停止の問題がなければ、対角線の議論で普遍的なチューリングマシンは有用ですか？」

ライスの定理は、基本的にチューリングマシンに対する対角化の一般化です。すべてのチューリングマシンについて、またはチューリングマシンがない場合を除き、単一のアルゴリズムですべてのチューリングマシンに対して決定できるチューリングマシンに関するプロパティはまったくないことを示しています。すべてのチューリングマシンを保持するプロパティまたはチューリングマシンを保持しないプロパティにより、対角化オブジェクトがチューリングマシンになるのを防ぐため、プロパティに関する決定に矛盾する最初のリストに載ることはできません。確かにこれが唯一です対角化オブジェクトがリストに載ることを防ぎ、チューリングマシンのすべてのプロパティが決定できないプロパティに関する決定と矛盾すること。対角化オブジェクトのこのパターンは、あなたが決定しようとしているものの決定を否定しようとしているもののリストのメンバーである必要があるため、Lawvereの定理（Sureshの答えのリンクで参照）がキャプチャする重要な抽象化です対角化の概念を完全に一般化するために。今では、経験上、ほぼすべての対角化が数学的論理において非常に重要な結果をもたらすという共通の特性を持っているようであることがわかっているため、Lawvereの定理は非常に興味深いツールです。