条件付き平均独立性は、OLS推定量の不偏性と一貫性を意味します
次の重回帰モデルについて考えてみますY=Xβ+Zδ+U.(1)(1)Y=Xβ+Zδ+U.Y=X\beta+Z\delta+U.\tag{1} ここで、は列のベクトルです。行列。 a列のベクトル; マトリックス。列ベクトル。そして、誤差項、列ベクトル。YYYn×1n×1n\times 1XXXn×(k+1)n×(k+1)n\times (k+1)ββ\beta(k+1)×1(k+1)×1(k+1)\times 1ZZZn×ln×ln\times lδδ\deltal×1l×1l\times 1UUUn×1n×1n\times1 質問 私の講師、教科書「計量経済学入門」第3版。 James H. StockおよびMark W. Watson著、p。281、および計量経済学：名誉の試験レビューセッション（PDF）、p。7、私に次のように表現しています。 いわゆる条件付き平均独立性を仮定すると、これは定義上、意味しE(U|X,Z)=E(U|Z),(2)(2)E(U|X,Z)=E(U|Z),E(U|X,Z)=E(U|Z),\tag{2} 条件付き平均ゼロの仮定以外の最小二乗仮定が満たされる場合（したがって、と仮定し）（1を参照） -3以下）、E(U|X,Z)=0E(U|X,Z)=0E(U|X,Z)=0E(U|X,Z)=E(U|Z)≠0E(U|X,Z)=E(U|Z)≠0E(U|X,Z)=E(U|Z) \neq 0 次に、OLS推定量のにおける公正なままであるとの仮定のこの弱いセットの下で、一貫。β^β^\hat{\beta}ββ\beta(1)(1)(1) この命題をどのように証明しますか？上記1及び2は、OLSの推定値があることを意味していること、すなわち、私たちのために公平かつ一貫性のある推定量与え？この命題を証明する研究記事はありますか？ββ\betaββ\beta コメント 最も単純なケースは、線形回帰モデルを考慮することによって与えられるおよびOLSを見積もることを証明のを各について場合、は不偏です。Yi=β0+β1Xi+β2Zi+ui,i=1,2,…,n,Yi=β0+β1Xi+β2Zi+ui,i=1,2,…,n,Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\beta_2Z_i+u_i,\quad i=1,2,\ldots,n,β 1 β 1 E （U I | X I、Z I）= E （U I | Z I）Iをβ^1β^1\hat{\beta}_1β1β1\beta_1E(ui|Xi,Zi)=E(ui|Zi)E(ui|Xi,Zi)=E(ui|Zi)E(u_i|X_i,Z_i)=E(u_i|Z_i)iii 仮定すると、不偏性の証明と JOINTLY正規分布していますUiUiU_iZiZiZ_i 定義し、次におよび定義ししたがって、はとして書き換えられによって、ここで、とは一緒に正規分布しているため、正規分布の理論については、多変量正規分布の条件付き分布を導出する、と言うこと（実際に、私たちは共同正常にのみ、このアイデンティティを想定する必要はありません）いくつかのためにによってベクトルV=U−E(U|X,Z)V=U−E(U|X,Z)V=U-E(U|X,Z)U=V+E(U|X,Z)U=V+E(U|X,Z)U=V+E(U|X,Z)E(V|X,Z)=0.(*)(*)E(V|X,Z)=0.E(V|X,Z)=0\tag{*}.(1)(1)(1)Y=Xβ+Zδ+E(U|X,Z)+V.(3)(3)Y=Xβ+Zδ+E(U|X,Z)+V.Y=X\beta+Z\delta+E(U|X,Z)+V.\tag{3}(2)(2)(2)Y=Xβ+Zδ+E(U|Z)+V.(4)(4)Y=Xβ+Zδ+E(U|Z)+V.Y=X\beta+Z\delta+E(U|Z)+V.\tag{4}UiUiU_iZiZiZ_i E （U | Z ）= …