加重単純線形回帰の式

このwikiページの単純線形回帰には、およびを計算するための式があります。誰かが重み付けされたケースで数式を導出する方法を教えてもらえますか？$\alpha$$\beta$

通常の最小二乗（OLS）を最小化するための「ブラックボックス」と考える

$$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

行がタプルであるデータテーブルの場合。$i^\text{th}$$(1, x_i, y_i)$

重みがあり、必ず正である場合、それらを書くことができます。定義により、加重最小二乗法は最小化します$w_i^2$

$$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$$

$$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$$

しかし、これは、「重み付けされた」タプル構成されるデータテーブルが与えられたときに、OLSブラックボックスが最小化するものとまったく同じです。したがって、これらの加重タプルにOLS数式を適用すると、求める数式が得られます。$(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$