タグ付けされた質問 「stiffness」

ODEシステムy′=f（x,y）y′=f（バツ、y）y'=f(x,y)、 IVPを考えますy（x0）= y0y（バツ0）=y0y(x_0)=y_0。最も一般的にこの問題を考えたときに硬いヤコビ行列∂f∂y（x0、y0）∂f∂y（バツ0、y0）\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)有し、両方の非常に小さな負の実数部分（Iのみ安定したケースを考える）と非常に大きな負の実部と固有値と固有値を。 一方、ただ1つの方程式の場合には、例えばProthero -ロビンソン方程式のためのy′= λy+g′+λgy′=λy+g′+λgy'=\lambda y + g'+\lambda g、それが硬いときに呼び出されるλ≪−1λ≪−1\lambda\ll -1。 したがって、2つの質問があります。 ODEシステムの剛性の定義に小さな固有値が含まれているのはなぜですか？非常に大きな負の実数部のみが存在することで、システムが硬くなるのに十分であると思います。これにより、明示的な方法に小さなタイムステップを使用できるようになるためです。 λmax/λminλmax/λmin\lambda_{\max}/\lambda_{\min} OK、質問を修正しましょう。2つの2次元線形ODEシステムを考えます。1つ目は固有値{-1000000、-0.00000001}で、2つ目は{-1000000、-999999}です。私にとっては、どちらも硬いです。しかし、剛性比の定義を考慮すると、2番目のシステムはそうではありません。主な質問：剛性比はなぜ考慮されるのですか？ そして、質問の2番目の部分は依然として重要です。言い換えれば、大きな負の固有値と穏やかな剛性比（たとえば、100以下）を備えた「自然な」大規模ODEシステムを探しています。

17 ode  stiffness 

私は次のC ++コードでチューリングの反応拡散システムを解決しています。これは遅すぎます。128x128ピクセルのテクスチャの場合、許容可能な反復数は200です。これにより、2.5秒の遅延が発生します。興味深い画像を取得するには400回の反復が必要ですが、5秒の待機時間は多すぎます。また、テクスチャのサイズは実際には512x512である必要がありますが、これにより、待機時間が非常に長くなります。デバイスはiPad、iPodです。 これを速くするチャンスはありますか？オイラー法はゆっくりと収束します（ウィキペディア）–より速い方法があれば、反復回数を減らすことができますか？ 編集： Thomas Klimpelが指摘したように、行：「if（m_An [i] [j] <0.0）{...}」、「if（m_Bn [i] [j] <0.0）{...}」は収束を遅らせています。削除後、75回の反復後に意味のある画像が表示されます。以下のコードの行をコメントアウトしました。 void TuringSystem::solve( int iterations, double CA, double CB ) { m_iterations = iterations; m_CA = CA; m_CB = CB; solveProcess(); } void set_torus( int & x_plus1, int & x_minus1, int x, int size ) { // Wrap "edges" …

10 pde  stiffness 

私はODEを持っています： あなた』= − 1000 u + s i n （t ）u′=−1000u+sin(t)u'=-1000u+sin(t) u （0 ）= − 11000001u(0)=−11000001u(0)=-\frac{1}{1000001} この特定のODEは分析的に硬いことを知っています。また、明示的な（順方向）時間ステップメソッド（Euler、Runge-Kutta、Adamsなど）を使用した場合、時間ステップが大きすぎると、メソッドが非常に大きなエラーを返すはずであることも知っています。だから、私は2つの質問があります： これは、一般に、エラー項の分析式が利用できない、または導出できない場合に、ODEがどのように決定されるのですか？ 一般に、ODEが硬い場合、「十分に小さい」タイムステップをどのように決定しますか？

10 ode  stiffness  time-integration 

FEMクラスでは、通常、剛性マトリックスが正定であることが当たり前とされていますが、その理由を理解できません。誰か説明してもらえますか？ 例えば、我々は、ポアソン問題を考えることができます： その剛性行列である： K I J = ∫ Ω ∇ φ I ⋅ ∇ φ jを−∇2u=f,−∇2u=f, -\nabla^2 u = f,Kij=∫Ω∇φi⋅∇φjdΩ,Kij=∫Ω∇φi⋅∇φjdΩ,K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega, 対称正定です。対称性は明白な特性ですが、正の明確さは私にはそれほど明白ではありません。

9 finite-element  matrix  stiffness