硬いODEシステムの定義

ODEシステム$y'=f(x,y)$、 IVPを考え$y(x_0)=y_0$。最も一般的にこの問題を考えたときに硬いヤコビ行列$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$有し、両方の非常に小さな負の実数部分（Iのみ安定したケースを考える）と非常に大きな負の実部と固有値と固有値を。

一方、ただ1つの方程式の場合には、例えばProthero -ロビンソン方程式のための$y'=\lambda y + g'+\lambda g$、それが硬いときに呼び出される$\lambda\ll -1$。

したがって、2つの質問があります。

1. ODEシステムの剛性の定義に小さな固有値が含まれているのはなぜですか？非常に大きな負の実数部のみが存在することで、システムが硬くなるのに十分であると思います。これにより、明示的な方法に小さなタイムステップを使用できるようになるためです。

2. $\lambda_{\max}/\lambda_{\min}$

OK、質問を修正しましょう。2つの2次元線形ODEシステムを考えます。1つ目は固有値{-1000000、-0.00000001}で、2つ目は{-1000000、-999999}です。私にとっては、どちらも硬いです。しかし、剛性比の定義を考慮すると、2番目のシステムはそうではありません。主な質問：剛性比はなぜ考慮されるのですか？

そして、質問の2番目の部分は依然として重要です。言い換えれば、大きな負の固有値と穏やかな剛性比（たとえば、100以下）を備えた「自然な」大規模ODEシステムを探しています。

剛性には、スケールの分離が伴います。一般に、システムの最速モードのフェーズに関心がある場合は、それを解決する必要があり、システムは硬直しません。しかし、多くの場合、遅い多様体からの解が接近する正確な速度よりも、「遅い多様体」の長期的なダイナミクスに興味があります。

化学反応と反応する流れは、硬いシステムの一般的な例です。ポル発振器デア・バンは、調整可能な剛性のparamaterを持つODEインテグレータのための一般的なベンチマーク問題です。

海は、視覚化するのに役立つ別の例です。津波（表面重力波）は飛行機の速度で移動し、複雑な波構造を生成しますが、長い時間スケールで消散し、海洋の長期的なダイナミクスにはほとんど影響を与えません。一方、渦は、非常に歩行者の速度で約100倍遅く移動しますが、関連する混合および輸送の温度、塩分、および生物地球化学トレーサーを引き起こします。しかし、表面重力波を伝播する同じ物理学は渦（準平衡構造）もサポートしているため、渦速度、コリオリの下の経路、および散逸率は重力波速度に依存します。これは、硬いシステム用に設計された時間積分スキームが重力波の時間スケールをステップオーバーし、関連する動的時間スケールのみを解決する機会を提供します。見るMousseau、Knoll、Reisner（2002）は、この問題について、分割と完全に暗黙の時間積分スキームの比較と議論しています。

関連：双曲線PDEの統合で暗黙的メソッドを使用する必要があるのはいつですか？

拡散プロセスは、通常、離散系における最速タイムスケールメッシュ依存性とスケーリングであるため、剛性であると考えられることに留意されたいが、関連する物理学の時間スケールは、独立したメッシュです。実際、特定のメッシュの最速の時間スケールは、より長い空間スケールが進化するより遅い多様体への空間的な局所緩和を表すため、暗黙的な方法は、最速のスケールを解決しなくても強い規範でも非常に正確です。$(\Delta x)^2$

パート1

小さな固有値は、ODE（初期値問題）システムの剛性の定義には含まれません。私が知っている剛性の満足できる定義はありませんが、私が遭遇した最高の定義は次のとおりです。

初期条件のあるシステムに絶対安定性の有限領域を適用した数値法が、特定の積分区間で、その区間の正確な解の滑らかさに関連して過度に小さいステップ長の使用を強制される場合、システムはその間隔で硬いと言われます。（Lambert、JD（1992）、Numerical Methods for Ordinary Differential Systems、New York：Wiley。）

フォワードオイラー法の安定性を維持するために必要なステップサイズが、解を正確に表すために必要なステップサイズよりもはるかに小さい場合、IVP [初期値問題]はある区間[ 0 、b ]で硬くなります。（Ascher、UM and Petzold、LP（1998）、Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations、Philadelphia：SIAM​​。）$[0,b]$

スティッフな方程式は、特定の暗黙的なメソッド、特にBDFが、明示的なメソッドよりも優れた、通常は非常に優れたパフォーマンスを発揮する方程式です。（CF Curtiss＆JO Hirschfelder（1952）：スティッフな方程式の統合。PNAS、vol。38、p。235-243）

スティッフな方程式に関するウィキペディアの記事は、次の「ステートメント」をランバートに帰するものです。

1. 線形定数係数システムは、すべての固有値が負の実数部を持ち、剛性比が大きい場合、剛性があります。

2. 剛性は、精度の要件ではなく安定性の要件がステップ長を制約する場合に発生します。[この「観察」は本質的にAscherとPetzoldの定義であることに注意してください。]

3. 剛性は、溶液の一部の成分が他の成分よりもはるかに急速に減衰するときに発生します。

これらの観察のそれぞれには反例があります（確かに、頭の上のものを作り出すことはできませんでしたが）。

パート2

おそらく私が思いつく最高の例は、点火を引き起こす条件下で化学動力学にあらゆる種類の大きな燃焼反応システムを統合することでしょう。連立方程式は着火するまで堅くなり、その後、システムは初期過渡状態を通過したため堅くなりません。最大の固有値と最小の固有値の比率は、イグニッションイベントの周辺を除いて大きくすべきではありませんが、そのようなシステムは、非常に厳密な積分許容値を設定しない限り、硬い積分器を混乱させる傾向があります。

HairerとWannerの本は、最初のセクション（パートIV、セクション1）で、スティッフな方程式の他の多くの例を示すいくつかの他の例を示しています。（Wanner、G.、Hairer、E。、常微分方程式の解法II：スティッフおよび微分代数問題（2002）、Springer。）

最後に、CW Gearの観察を指摘する価値があります。

それは話に共通であるが、式「硬い微分方程式、」それ自体が硬くない、その方程式の特定の初期値問題は、一部の地域では、硬いかもしれないが、これらの領域のサイズは、初期値に依存し、エラー耐性。（CW Gear（1982）：振動および/または硬い常微分方程式の自動検出および処理。In：微分方程式の数値積分、Math。、Vol。968、p。190-206の講義ノート）

実際、Jed Brownが質問をクリアしてくれました。私が今していることは、彼の言葉を文脈に入れることです。

1. 上記の2D線形ODEシステムは両方とも、比較的大きな時間間隔（[0,1]など）で硬直しています（つまり、明示的な方法では解くのが困難です）。

2. 剛性比が大きい線形システムは、より長い時間間隔でそれらを統合する必要がある可能性が高いため、「剛性が高い」と見なすことができます。これは、最小の固有値に対応する遅い成分によるものです。解はゆっくりと定常状態になりがちであり、この定常状態は通常到達することが重要です。

3. 一方、大きな間隔で小さな剛性比を持つシステムの統合は重要ではありません。この場合、定常状態に非常に速く到達し、外挿するだけです。

この議論に感謝します！

固有値の絶対的な大きさ（線形で自律的な問題）だけではまったく意味がありません。問題を表現するために選択したユニットの成果物です。

コメントのチェーンは制御不能になっているので、これを答えにしています。完全な質問に答えるつもりはありません。私が言ったように、ここでウィキペディアまたは他の回答を参照してください。私は言うビットに答えているだけです

2つの2次元線形ODEシステムを考えます。1つ目は固有値{-1000000、-0.00000001}で、2つ目は{-1000000、-999999}です。私にとっては、どちらも硬いです。しかし、剛性比の定義を考慮すると、2番目のシステムはそうではありません。主な質問：剛性比はなぜ考慮されるのですか？

さて、2番目のケースの例を考えてみましょう。

$t^* = 1000000\cdot t$。次に、微積分学は、

注1：対角システムを選択して完全にわかりやすくしましたが、それらの固有値を持つ別のシステムで試してみると、行列に定数を掛けると固有値に同じ定数が乗算されるため、同じ効果が得られます。

$|\lambda|\gg1$