FEMで、剛性マトリックスが正定であるのはなぜですか？

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FEMクラスでは、通常、剛性マトリックスが正定であることが当たり前とされていますが、その理由を理解できません。誰か説明してもらえますか？

例えば、我々は、ポアソン問題を考えることができます：その剛性行列である：

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$ 対称正定です。対称性は明白な特性ですが、正の明確さは私にはそれほど明白ではありません。

finite-element matrix stiffness

— user123
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これは実際に解こうとしている偏微分方程式に依存します。興味のあるものを追加できますか？

— クリスチャンクラソン2015年

こんにちは、@ ChristianClason、コメントありがとうございます。この問題の具体例を追加しました。

— user123 2015年

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警告：境界条件がない場合、要素行列から組み立てられた完全なシステム剛性行列は、剛体の運動と同等の力をゼロの力にマッピングする必要があるため、フルランクにはなりません。したがって、完全な剛性マトリックスは、せいぜい正の半正定値です。ただし、適切な境界条件では、剛体の運動は無効になり、拘束されたシステムは非特異になります。（それ以外の場合は、それを解決できませんでした）。したがって、実際の正定性を見つけるには、境界条件を適用した結果の圧縮行列を調べる必要があります。

— ccorn 2015年

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プロパティは、対応する（弱形式の）偏微分方程式のプロパティに従います。これは、有限差分法などと比較した有限要素法の利点の1つです。

$u\in H^1_0(\Omega)$

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$

ここで、古典的な有限要素アプローチは、無限次元空間を有限次元部分空間、でようなを見つけることここで重要なプロパティは同じと部分空間（適合化離散化）; つまり $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

最後のステップ：変分形式を線形方程式のシステムに変換するには、基底を、と記述しおよび、を挿入します。剛性行列には、エントリ（これは、が書いたものと一致します）。 $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

次に、任意のベクトルをます。次に、との双線形性が（つまり、スカラーと合計を両方の引数に移動できます）以来任意だった、これがあることを意味正定値です。 $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR：（自己随伴の）楕円偏微分方程式の適合離散化から得られるため、剛性行列は正定です。

— クリスチャン・クラソン
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要素の剛性が正でない場合、システムは安定していません。したがって、モデルはおそらく正しくありません。調和振動子の最も基本的な方程式を見てください

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

が負の場合、解は不安定です（特性方程式の根を見てください）。それは解が爆発することを意味します。剛性は復元力でなければなりません。少なくとも物理的なばねでは。剛性マトリックスは、これを多数の要素に拡張します（グローバル剛性マトリックス）。以上です。しかし、それは同じ基本的な考え方です。FEMベースは、構造解析の剛性マトリックス法にあり、各要素には剛性が関連付けられています。 $k$

— ナセル
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