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対角支配行列での反復法の安全な適用
次の線形システムが与えられたと仮定 Lx=c,(1)(1)Lx=c,Lx=c,\tag1 ここで、LLL正であることが知られているラプラシアン重み付けsemi−semi−semi-で張ら一次元のヌル空間と明確1n=(1,…,1)∈Rn1n=(1,…,1)∈Rn1_n=(1,\dots,1)\in\mathbb{R}^n、そして、の翻訳分散x∈Rnx∈Rnx\in\mathbb{R}^{n}、すなわち、x+a1nx+a1nx+a1_nその誘導体である関数値（変化しない(1)(1)(1)）。の唯一の正のエントリはLLL、対角線上にあります。これは、負の非対角線上のエントリの絶対値の合計です。 私は非常にも、その場で学業に引用いずれかで見出さLLLであるnot strictlynot strictlynot~strictly斜めドミナント、例えば共役勾配、ガウスSeidl、ヤコビのような方法は、まだ安全に解決するために使用することができるが(1)(1)(1)。理論的根拠は、変換不変性のため、1つの点を固定しても安全です（たとえば、最初の行と列LLLおよび最初のエントリをから削除するccc）。したがって、LLLをa s t r i c t l yに変換します。strictlystrictlystrictly対角線的に支配的な行列。いずれにしても、元のシステムは、完全な形で解決される(1)(1)(1)と、L∈Rn×nL∈Rn×nL\in\mathbb{R}^{n\times n}。 この仮定は正しいですか、正しい場合、代替の根拠は何ですか？メソッドの収束がどのように維持されるかを理解しようとしています。 ヤコビ法を有する収束である場合(1)(1)(1)、どのスペクトル半径約状態可能性ρρ\rho繰り返し行列のD−1(D−L)D−1(D−L)D^{-1}(D-L)、DDDのエントリを有する対角行列であるLLLその対角線上には？あるρ(D−1(D−L)≤1ρ(D−1(D−L)≤1\rho(D^{-1}(D-L)\leq1、のための一般的な収束を保証からしたがって、異なるρ(D−1(D−L))<1ρ（D−1（D−L））<1\rho(D^{-1}(D-L))<1？私はラプラシアン行列の固有値ので、これを求めているD−1LD−1LD^{-1}L対角線上のものが持つべき範囲であることが[0,2][0、2][0, 2]。 原作より： ...................................... 各反復で、次の線形システムを解くことで新しいレイアウト（x（t +1）、y（t + 1））を計算します： L⋅x(t+1)=L(x(t),y(t))⋅x(t)L⋅y(t+1)=L(x(t),y(t))⋅y(t)(8)（8）L・バツ（t+1）=L（バツ（t）、y（t））・バツ（t）L・y（t+1）=L（バツ（t）、y（t））・y（t） L · x(t + 1) = L(x(t),y(t)) · x(t) \\ L · y(t + 1) = L(x(t),y(t)) · y(t) \tag 8 一般性を失うことなく、センサーの1つの位置を固定できます（ローカライズされたストレス）、厳密に対角線的に支配的な行列を取得します。したがって、（8）を解くためにJacobi反復を安全に使用できます。 ................................................. 上記の「反復」の概念は、基礎となる最小化手順に関連しており、Jacobi反復と混同しないでください。したがって、システムはJacobiによって（反復的に）解決され、ソリューションは（8）の右側に購入されますが、今度は、基礎となる最小化の別の反復のためです。これで問題が明確になることを願っています。 正の半定値行列に対して収束する反復線形ソルバーが見つかりましたか？、しかしより複雑な答えを探しています。