対角支配行列での反復法の安全な適用

次の線形システムが与えられたと仮定

\begin{matrix} (1) & L x = c, \end{matrix}

$Lx=c,\tag1$ ここで、

L

$L$ 正であることが知られているラプラシアン重み付け

s e m i -

$semi-$ で張ら一次元のヌル空間と明確

1_{n} = (1, \dots, 1) \in R^{n}

$1_n=(1,\dots,1)\in\mathbb{R}^n$ 、そして、の翻訳分散

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^{n}$ 、すなわち、

x + a 1_{n}

$x+a1_n$ その誘導体である関数値（変化しない

(1)

$(1)$ ）。

の唯一の正のエントリは

L

$L$ 、対角線上にあります。これは、負の非対角線上のエントリの絶対値の合計です。

私は非常にも、その場で学業に引用いずれかで見出さ $L$ である $not~strictly$ 斜めドミナント、例えば共役勾配、ガウスSeidl、ヤコビのような方法は、まだ安全に解決するために使用することができるが $(1)$ 。理論的根拠は、変換不変性のため、1つの点を固定しても安全です（たとえば、最初の行と列 $L$ および最初のエントリをから削除する $c$ ）。したがって、 $L$ をa 変換します。 $strictly$ 対角線的に支配的な行列。いずれにしても、元のシステムは、完全な形で解決される $(1)$ と、 $L\in\mathbb{R}^{n\times n}$ 。

この仮定は正しいですか、正しい場合、代替の根拠は何ですか？メソッドの収束がどのように維持されるかを理解しようとしています。

ヤコビ法を有する収束である場合 $(1)$ 、どのスペクトル半径約状態可能性 $\rho$ 繰り返し行列の $D^{-1}(D-L)$ 、 $D$ のエントリを有する対角行列である $L$ その対角線上には？ある $\rho(D^{-1}(D-L)\leq1$ 、のための一般的な収束を保証からしたがって、異なる $\rho(D^{-1}(D-L))<1$ ？私はラプラシアン行列の固有値ので、これを求めている $D^{-1}L$ 対角線上のものが持つべき範囲であることが $[0, 2]$ 。

原作より：

......................................

各反復で、次の線形システムを解くことで新しいレイアウト（x（t +1）、y（t + 1））を計算します：

\begin{matrix} （8） & L ・ バツ （ t + 1 ） = L （ バツ （ t ） 、 y （ t ） ） ・ バツ （ t ） L ・ y （ t + 1 ） = L （ バツ （ t ） 、 y （ t ） ） ・ y （ t ） \end{matrix}

$L · x(t + 1) = L(x(t),y(t)) · x(t) \\ L · y(t + 1) = L(x(t),y(t)) · y(t) \tag 8$ 一般性を失うことなく、センサーの1つの位置を固定できます（ローカライズされたストレス）、厳密に対角線的に支配的な行列を取得します。したがって、（8）を解くためにJacobi反復を安全に使用できます。

.................................................

上記の「反復」の概念は、基礎となる最小化手順に関連しており、Jacobi反復と混同しないでください。したがって、システムはJacobiによって（反復的に）解決され、ソリューションは（8）の右側に購入されますが、今度は、基礎となる最小化の別の反復のためです。これで問題が明確になることを願っています。

正の半定値行列に対して収束する反復線形ソルバーが見つかりましたか？、しかしより複雑な答えを探しています。

— usero
ソース

非常に引用された作品へのリンクまたは引用を投稿できますか？

— Geoff Oxberry、2012年

以下から取得できます：citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.164.1421 全体を読む必要はないので、p.7（下）をご覧ください。反復ソルバーの選択は正当化されると思いますが、より良い（または少なくとも異なる）理論的根拠が必要だと感じています。

— usero 2012年

これらの人たちがコンビナトリアルプレコンディショナーと同じコミュニティーから来ているのだろうか。

— shuhalo

回答:

ヤコビ反復は収束したことが証明できます。

あなたが確認して最初にすべきことは、つまり溶液（私は仮定の存在する条件で、それ以外の場合は、あなたが必要とする、あなたが言ったので）。という規則を使用し $c^T \mathbf{1}_n = 0$ $L=L^T$ $c\in (\mathrm{Ker} L^T)^\perp$ $V_0:=\mathrm{Ker} L = \mathrm{span}\{\mathbf{1}_n\}$ $V_0$ また、列がその正規直交基底である行列です。あなたの場合、。 $V_0:=\mathbf{1}_n/\sqrt{n}$

次に、元のシステムでのヤコビ反復の誤差については、ここで

e_{1} = (I - D^{- 1} L) e_{0} = (I - D^{- 1} L) (P e_{0} + V_{0} a) = (I - D^{- 1} L) P e_{0} + V_{0} a,

$e_1 = (I-D^{-1}L)e_0 = (I-D^{-1}L) (P e_0 + V_0a)=(I-D^{-1}L) P e_0 + V_0a,$

への正射影である

。上記の反復から、

あることがわかります。これから、反復行列

が

にあります

しないこと

P := I - V_{0} V_{0}^{'}

$P:=I-V_0V_0'$

V_{1} := V_{0}^{⊥}

$V_1:=V_0^\perp$

P e_{1} = P (I - D^{- 1} L) P e_{0},

$P e_1 = P (I-D^{-1}L) P e_0,$

S

$S$

V_{1}

$V_1$

S := P (I - D^{- 1} L) P .

$S: = P (I-D^{-1}L) P.$

次の行列と（ゼロを除く）と同じスペクトルを有する

S

$S$

収束を証明するには、

のスペクトル半径が1未満である必要があります。

\tilde{S} := (I - D^{- 1} L) P P = (I - D^{- 1} L) P = (I - D^{- 1} L) (I - V_{0} V_{0}^{'}) = I - D^{- 1} L - V_{0} V_{0}^{'} .

$\tilde{S}:= (I-D^{-1}L) P P=(I-D^{-1}L) P=(I-D^{-1}L)(I-V_0V_0')\\ =I-D^{-1}L-V_0V_0'.$

S

$S$

次の引用は古く、参照用にのみ保管されています。新しい証明については後を参照してください。

あなたの場合、そして、のエントリが対角線上で正であり、それ以外の場合は負であるという仮定を使用することにより、が厳密に対角線上で支配的であることを確認できます。固有値を表示するには $V_0V_0'=\frac{1}{n}\mathbf{1}_{n\times n}.$ $D^{-1}L+V_0V_0'$ $L$ が実数であることを示すために、行列は内積下で自己随伴であることに注意してください $D^{-1}L+V_0V_0'$ $<x,y>:=y^TDx.$

が特定の形式でない場合は、収束の質問に対する答えが見つかりません。誰かがこれを明確にできますか？ $V_0$

は固有値に対応する固有ベクトルであることに注意してください。観察に基づいて、Jiu DingとAi-Hui Zhouによるいくつかのアプリケーションを使用して、ランク1の更新された行列の固有値から定理2.1を呼び出します。 $V_0$ $1$ $I-D^{-1}L$

定理2.1 う及び 2つのであるよう次元列ベクトルの固有ベクトルであり、の固有値に関連付けられた。次に、固有値 $u$ $v$ $n$ $u$ $A$ $\lambda_1$ $A+uv^T$ している代数的多重度を数えます。 $\{\lambda_1+u^Tv,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\}$

$\tilde{S}$ $I-D^{-1}L$ $1$ $-1$ $\rho(I-D^{-1}L)\subset (-1,1]$ $\rho(\tilde{S})\subset (-1,1)$

— フイ・チャン
ソース

D^{- 1} L

$D^{-1}L$

[0, 2)

$[0, 2)$

(0, 2)

$(0, 2)$

0

$0$

0

$0$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

1

$1$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

0

$0$

D^{- 1} L

$D^{-1}L$

[0, 2]

$[0,2]$

2

$2$

2

$2$

2

$2$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

\leq 1

$\leq 1$

L

$L$

V_{1}

$V_1$

D^{- 1} L

$D^{−1}L$

2

$2$

c

$c$

V_{0}

$V_0$

I - D^{- 1} L - V_{0} V_{0}^{'}

$I-D^{-1}L-V_0V_0'$

s r

$sr$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

(0, 1]

$(0, 1]$

- \frac{1}{n}

$-\frac{1}{n}$

s r < 1

$sr<1$

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

\frac{1}{n} 1_{n \times n}

$\frac{1}{n}\mathbf{1}_{n\times n}$

s r

$sr$

I - D^{- 1} L

$I-D^{-1}L$

s r

$sr$

s r

$sr$

V_{0}

$V_0$

— usero

クリロフメソッドは、反復する空間の次元を明示的に使用することはありません。したがって、ヌル以外の部分空間で反復を維持する限り、特異系でそれらを実行できます。これは通常、各反復でヌル空間を投影することによって行われます。問題が発生する可能性があるのは2つあります。1つ目は2つ目よりもはるかに一般的です。

前提条件子は、特異演算子に適用されると不安定になります。直接ソルバーと不完全分解はこの特性を持っているかもしれません。実際問題として、我々は異なる前処理を選択するだけですが、Zhang（2010）のように、特異系の前処理を設計するためのより原理的な方法があります。
$x$ $A x$

PETScを使用して特異系を解くには、を参照してくださいKSPSetNullSpace()。ほとんどのメソッドと前提条件子は、特異系を解くことができます。実際には、ノイマン境界条件を含むPDEの小さなnullスペースは、クリロフソルバーにnullスペースを通知し、適切な前提条件子を選択する限り、ほとんど問題になりません。

$A x = b$ $b$ $A$ $b$

— ジェド・ブラウン
ソース

Q

$Q$

A_{1} = Q^{T} A Q

$A_1 = Q^T A Q$

A_{1}

$A_1$

A_{1}

$A_1$

Z

$Z$

(I - Z) P^{- 1} A x = (I - Z) P^{- 1} b

$(I-Z)P^{-1} A x = (I-Z)P^{-1} b$

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— Jed Brown

d i a g (A)

$diag(A)$

X_{k + 1} = D^{- 1} (b - (A - D) X_{k})

$X_{k+1}=D^{-1}(b-(A-D)X_k)$

X_{k + 1}

$X_{k+1}$

X_{k}

$X_{k}$

N = Z Z^{T}

$N=ZZ^T$

Z

$Z$

I - N

$I-N$

Z

$Z$

N = I - Z Z^{T}

$N=I-ZZ^T$ はプロジェクターです。）

— Jed Brown