オークションと最高の反応

$ k $同一のオブジェクトが$ kに売却されるオークションを考えます。 n＆gt; kドルの入札者。各入札者$ i $に必要なオブジェクトは1つのみで、評価額は$ v_ {i} $です。   オブジェクト。オークションでは、同時に、すべての入札者$ i $が$ b_ {i} $を入札します。最も高い$ k $   入札者が勝ちます。各勝者は1つのオブジェクトを取得し、$ k + 1 ^ {st} $最高入札者に支払います（つまり、   価格$ p $は、オブジェクトを取得していない入札者の間の最高入札額です。 （   負けた入札者のそれぞれに価値の贈り物$ w $が贈られます。   彼らの参加のために。 （勝者には贈り物はもらえません。）   支配的な戦略の均衡、そして均衡を計算する。

9ページの解決策があります ここに しかし、私はそれを理解することができません。

誰かが私に答えを説明してもらえますか。また、負けた入札者はここで彼らの入札額を支払いますか？そして、この行は何を意味します：「各勝者は1つのオブジェクトを得て、$ k + 1 ^ {st} $最高入札者に支払います」？

ヒント： 私はより単純なケースを通して話します、そしてあなたにそれを一般的なケースに拡張させましょう。

たった2人の入札者がいて、トップ1の入札者だけが勝つとしましょう。勝った人は誰でも敗者が何を入札しても支払う。この状況は、基本的にセカンドプライスオークションです。

あなた、プレーヤー1、値$ v_1 $のオークションにかけられたオブジェクトが好きですが、$ w $の慰め賞もまた素敵です。あなたが与えた解決策は、最適な入札が$ b_1 ^ * = v_1 - w $であると言います。これを確認しましょう。

あなたがこの入札でこのオークションに勝った場合、それは他の入札者があなたより少ない入札を意味する、$ b_1 ^ *＆gt; b_2 ^ * $。勝利の合計額は$ v_1 - b_2 ^ * $です。負けた場合は、他の入札者があなたよりも高い値を付け、$ w $を受け取ります。だから勝ち負けの違いは

$$ v_1 - b_2 ^ * - w＆gt; v_1 - b_1 ^ * - w = v_1 - （v_1 - w） - w = 0 $$

それで、万歳！勝つことに価値がある 慰めをすることと比較して 。 :)

あなたが一方的にこの提案された戦略から逸脱した（それであなたの対戦相手は彼らの入札を変えない）そして入札 高い 最大$ b'_1 = v_1 + \ epsilon - w $？さて、もしあなたが上記の場合と比較してとにかく勝とうとしていたときに勝てば…あなたはまだ総報酬として$ v_1 - b_2 ^ * $を得ます。あなたがとにかく負けそうになったときに負けたとしても、それでも$ w $を得ます。あなたが以前に負けたであろう時にあなたがそれから勝つために十分に高い値をつけたとき興味深い部分はあなたがいる時です。

これは、$ b_1 ^ *＆lt;を持つことを意味します。 b_2 ^ *＆lt; b'_1 $あなたは勝って$ v_1 - b_2 ^ * $を受け取ったので、何も変わっていないようです...それとも違いますか？

$$ v_1 - b_2 ^ * - w＆lt; v_1 - b_1 ^ * - w = v_1 - （v_1 - w） - w = 0 $$

だから今、あなたは勝った...しかしあなただけの慰め賞を取ったはずです。 :(

あなたはより低い入札のために同様の思考実験をすることができます。あなたがより低い値を付けて勝っても、あなたが支払うものは提案された戦略を入札することから変わらない。とにかく負けたときに負けたとしても、何も変わりません。もともとあなたが勝ったであろうときにあなたが負けた場合、あなたは再び相対的な損失を取っています。

したがって、$ b_1 ^ * $という入札戦略から一方的に逸脱しても、利益が上がるわけではありません。これを拡張して、すべてのプレイヤーにとってこの考え方に従うことが支配的な戦略であることを理解することができます。

2人の勝者を持つ3人のプレーヤーではどうですか？ 1人の勝者を持つ3人のプレイヤー？この質問は実際にはセカンドプライスオークションの単なる奇妙な拡張です。あなたがそれを理解しているならば、それは助けになるでしょう、さもなければ、上の直感に従い、あなたに与えられたあなたの解決策を再読することを試みなさい。