Leontiefのような特性を持つ3つの入力の導出長期費用関数

ある会社が資本を使って財、熟練労働者、そして未熟練労働者を生産しているとしましょう。 $ K $を資本量、$ L_1 $未熟練労働者、$ L_2 $熟練労働者を表すとします。生産関数は、$ f（L_1、L_2、K）= K ^ 2分\ {L_1、L_2 ^ {\ frac {1} {3}}}}です。さらに、資本賃貸料$ r = 200 $、未熟練賃金率は$ w_1 = 5 $、熟練賃金率は$ w_2 = 6 $とします。

長期コスト関数を求めます。

関数内のK ^ 2項が与えられたときに、この問題にどのようにアプローチするかについてはよくわかりません。したがって、私は$ K = 1 $のときに試しました。ただし、$ K $は自然数であるため、すべての$ K $に対してどのようにアプローチするかを知りたいと思います。

私の試み

$ K = 1 $とします。それから$$ f（L_1、L_2、1）= min \ {L_1、L_2 ^ {\ frac {1} {3}}}}

ここから、特定のレベル$ q $でコストを最小化するために、$ L_1 = L_2 ^ {\ frac {1} {3}} = q $があり、これが$$ L_1 = q $$ $になることがわかります。 $ L_2 = q ^ 3 $$。したがって、$$ c（q）= 200 + 5q + 6q ^ 3 $$

$ L_1 = L_2 ^ {1/3} $というあなたの推論は、すべての$ K $に対して有効です。実際、この平等が成り立たない場合は、熟練労働者または未熟練労働者の過剰投入を減らすことでコストを削減できます。したがって、コスト最小化問題を3次元ではなく2次元に書き換えることができます。

\ begin {Equation} \ min_ {K、L_1} {200 K + 5 L_1 + 6 L_1 ^ 3} \ end {方程式} に応じて \ begin {Equation} K ^ 2 L_1 = q \ end {方程式}

制約条件から、目的関数で$ L_1 $を$ q / K ^ 2 $に置き換えることができます。これは、1つの変数$ K $とパラメータ$ q $を持つ最小化問題になります。それを解くと、問題の価値関数としてコスト関数が得られます。