最適なランダム入札

この質問は、私がよく閲覧しているこのWebサイトからのものです。

2人のプレイヤーが「より多くの勝利」と呼ばれるホットな新しいゲームショーに参加します。2人は別々のブースに行き、それぞれがボタンを押すと、0と1の間の乱数が画面に表示されます。（この時点では、どちらも相手の番号を知りませんが、番号が標準の一様分布から選択されていることを知っています。）最初の番号を保持するか、ボタンをもう一度押して最初の番号を破棄して2番目を取得するかを選択できます。保持する必要がある乱数。その後、彼らはブースを出て、壁の各プレイヤーの最終的な番号を確認します。豪華な大賞-金塊でいっぱいのケース-は、より高い数を保持したプレーヤーに授与されます。プレーヤーが最初の番号を破棄して別の番号を選択するのに最適なカットオフはどれですか。別の言い方をすると、最初の数を維持することを選択する範囲内で、

これは、対称型プレーヤーの非常に奇妙なオークションの問題（私はプレーヤーがリスクに中立であると想定しています）または非常に奇妙な宝くじ/ゲーム理論のゲームです。

数学的に言えば、この質問にどのように取り組みますか、そしてあなたはそれに対してどのような答えを得ますか？サイトのなぞなぞに対して正しい答えを得る私にとって賞はありません。私はただ興味があります。私の直感では、最適なカットオフは0.5であると言われています。これは、相手が乱数をリピックするかどうかに関係なく、相手の番号より50から50の確率が高いまたは低い可能性があるためです。しかし、私にはわかりません。

まず、0.5（または$\frac{1}{2}$）カットオフポイントは対称平衡として機能しません。問題について考えるか、完全な回答を読むかを自分で決めることができます。

カットオフポイントを$c_x,c_y$表します。両方のプレーヤーが戦略c = 1を使用するとします$c = \frac{1}{2}$。プレーヤー$x$と$y$数をそれぞれ$x_1$と$y_1$で表し、それらの潜在的な2番目の数を$x_2$と$y_2$表します。x1=2と仮定します$x_1 = \frac{2}{3}$。これを維持することで、プレーヤー$x$勝つ確率は

$$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$$ これは、$\frac{2}{3}$はこの分布の中央値です。

ここでx 1 = 1と仮定します$x_1 = \frac{1}{2}$。これを維持することで、プレーヤー$x$勝つ確率は

$$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ しかし、もし彼がx1=1を捨てるなら$x_1 = \frac{1}{2}$彼は確率 $$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$$ 勝利の 8。$\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$したがって、x1=1を維持$x_1 = \frac{1}{2}$（およびその周辺）は最適ではないため、平衡移動にすることはできません。

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スポイラー警告

プレーヤ場合$y$オフカットた$c_y$とプレーヤー$x$描画$x_1 = c_y$し、それを維持するプレイヤーが確率$x$、WINSは、

$$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$$ プレーヤー$x$が$x_1$を破棄する場合、彼が勝つ確率は $$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$ 対称平衡、つまり$c_x = c_y = c$ます。
（他の均衡は存在しないと思いますが、証明しませんでした。）x1
の値で勝つ確率は連続しているため、カットオフ値c$x_1$$c$は、$x_1 = c$場合、勝つ確率$x_1$が保持される場合と破棄される場合は等しくなります。この手段は、その $$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$$

$c_1$$c_2$$c_2\ge c_1$$p_1(x)$$x$$p_1(x)$$c_1x$$x<c_1$$c_1x+x-c_1$$p_2(x)$$p_2(x)$$p_1(x)$$0\le x\le1$

• $(0,0)$$(c_1^2,c_1c_2)$$0\le x\le c_1$
• $(c_1^2,c_1c_2)$$(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$$c_1\le x\le c_2$
• $(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$$(1,1)$$c_2\le x\le1$

これらの3つの線分は、単位正方形を2つの部分に分割します。グラフの下の部分の面積は、人物1の数が最も高い確率です。一部のジオメトリは、この領域がことを示しています$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$

$$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$$

$(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$$c_1=c_2$$1-c_1-c_1^2=0$$c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$