P完全言語の密度

仮定以上の有限列のブール言語であり、。してみましょう内の文字列の数との長さを持つ。正の整数から正の実数までの関数場合、はすべての十分に大きい場合、密度がます。 $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

P完全なブール言語は密度が高いですか？ $O(1/n)$

動機

PARITYの密度はです。YES（すべての有限バイナリ文字列の言語）の密度は1です。有限言語の密度はすべて0です。 $1/2$
スパース言語 $L$ 多項式があること性質有する $p(n)$ ように $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ すべてのため $n$ 。場合 $L$ 疎言語で、次いで $L_n \le p_1(n)$ 多項式のための $p_1$ よりも次数1のそれ以上の $p$ 、上部密度ので、 $L$ ゼロです。
Jin-Yi CaiとD. Sivakumarは、P = L（= LOGSPACE）でない限り、P完全な言語はスパースにならないことを示しました。P = co-Pなので、P = Lでない限り、補数がまばらな言語はP-completeにすることもできません。
単純な不等式（たとえば、Rosser and Schoenfeld 1962の結果 2を参照）により、PRIMESはより高い密度持ち $(\log_2 e)/n$ 。質問PRIMES、FACTORINGの問題はP-hardであることがわかっていますか？PRIMESがPハードであるかどうかについて議論します（これは現在開いているようです）。
ある意味で、複雑性クラスの完全な（またはユニバーサル）言語には、クラスのすべての構造が含まれています。したがって、カイとシバクマールの結果のワイルドな外挿に基づいた私の仮説は、そのような言語が疎すぎてはいけないということです。スパース言語を定義する通常の多項式の範囲は制限が厳しすぎるようです。そのため、制限が少し緩い範囲について質問します。

Fortnow、Hemaspaandra、その他による低さの研究も関連している可能性があります。

P以外のクラスについて質問することはできますが、たとえば -SATの密度を確立できるような結果を思い出すことはできません。関連文献へのポインタは大歓迎です。 $k$

謝辞

関連する質問「素数の条件付き密度」も参照してください。あいにく不適切な質問だったこの質問の以前のバージョンについて、@ Tsuyoshi Itoと@Kavehに感謝します。

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— アンドラスサラモン
ソース

私が考える

（または別の多項式分数）があまりにも多くの文字列を持って、より良い質問が上限とlowerboundsについて尋ねることです。

2^{n} / n

$2^n/n$

— Kaveh

一般的なP完全問題の密度が何であるかはわかりませんが、密度を未満に下げる方法を示すパディング引数があります。 $1/n$

お気に入りのP-完全な言語取る。この言語は、いくつかの濃度有し。ここで。一般に、は関数になるため、これは定義しない場合があります $L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ 我々は唯一の上位密度を心配されているので、すべてのサイズのために、ただ作るであれば。上限密度はどれくらいですか？さて、私たちは持っています $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

今のマシン構築するために使用LOG-削減することができます用機使用のための。まあ、入力が与えられた場合は、一度に1ビットずつクエリテープにコピーし（カウンターを使用してが何であるかをカウントする）、2番目のカウンターを使用してまでカウントし、1つずつ追加しますクエリテープにゼロを追加した時間（ログスペースを持つことは、我々は必要なと、容易に計算します）。次に、クエリを実行し、出力を回答として返します。 $M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

私たちがなりたい場合は必ず、私たちはより小さくされているそしてちょうど選ぶ、その後、我々は持っているでしょう。 $1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— アルテム・カズナチェフ
ソース

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

私はそう思う、あなたはm = log log nを必要とするだけだろう。一般に、m = f（n）の場合、LOG空間（nは単項）にある任意のfを選択できます。（または、これらの削減を希望する場合はNC）。

— Artem Kaznatcheev