比類のないグラフ＃P-completeで最大クリークをカウントしていますか？

この質問は、Peng ZhangによるMathOverflowの質問に基づいています。Valiantは、一般的なグラフで最大クリークを数えることは＃P-completeであることを示しましたが、比較不可能なグラフに制限する場合（つまり、有限ポーズで最大アンチチェーンを数えたい場合）はどうでしょうか。この質問は十分に自然に思えるので、以前に検討されたのではないかと疑っていますが、文献で見つけることはできませんでした。

— ティモシーチョウ
ソース

「カットのカウントとグラフが接続される確率の計算の複雑さ」（SIAM J. Comput。12（1983）、pp。777-788）のこの要約によれば、アンチチェーンを半順序でカウントすることは＃ Pコンプリート。この論文にはアクセスできないので、この結果が最大限のアンチチェーンをカバーしているかどうかはわかりません。

— むしゃむしゃ
ソース

@András：私は彼らの結果はアンチチェーン（必ずしも最大ではない）を数えることだと思います。最大のアンチチェーンを数えることも＃P-completeであることが簡単にわかるかもしれませんが、私はそれを見ることができません。

— 伊藤剛

@András：問題は、最大カーディナリティのアンチチェーンではなく、最大のアンチチェーンに関するものです。私はこの論文の削減について研究していないので、それらの削減は同時に最大のアンチチェーンを数えることの＃P-完全性を証明するかもしれないが、少なくともそれらは異なる問題である。

— 伊藤剛

@Tsuyoshi：そのとおりです。Provan/ Ballの論文では、最大カーディナリティのアンチチェーンを数えることは＃P-hardであるとしか示されていません。戻る描画ボードへ...

— アンドラス・サラモン

実際、証明を見ると、すべての最大アンチチェーンのカーディナリティが同じであるクラスのポゼットに対して＃P-completenessが証明されていることがわかります。すなわち、と任意の二部グラフ起動

と

の頂点と二部グラフの構築

と

追加することにより、頂点を

の新しい頂点

と

新しい縁

G = (V, E)

$G=(V,E)$

n

$n$

G^{'}

$G'$

2 n

$2n$

n

$n$

{v^{'} : v \in V}

$\{v' : v\in V\}$

n

$n$

。次いで、場合

及び

の頂点集合の2分割である

、上のposet定義

設定することにより、

場合に

及び

と

隣接であります

。だからこれは私の質問に答えます。

{(v, v^{'}) : v \in V}

$\{(v,v'): v\in V\}$

V_{1}

$V_1$

V_{2}

$V_2$

G^{'}

$G'$

V_{1} \cup V_{2}

$V_1\cup V_2$

x < y

$x<y$

x \in V_{1}

$x\in V_1$

y \in V_{2}

$y\in V_2$

x

$x$

y

$y$

G^{'}

$G'$

— ティモシーチャウ