幾何学的複雑性理論における事後選択

コンテキスト：私が理解しているように、幾何学的複雑度理論では、障害物の存在は、いわば、検討中の下限問題の明示的なハード関数の効率的な計算回路が存在しないことの証明として機能します。障害物には、短く、確認しやすく、構築しやすいという他の前提条件がいくつかあります。

質問：私の質問は、多項式時間で解けると推測している問題があるということです。次に、この問題に障害物がないことをどのように示すことができますか。つまり、障害物が存在しない場合、問題を効率的に計算でき、それは確かに多項式時間です。

アプローチ：この主張では間違っているかもしれませんが、障害物がないことを示すことは、NPの問題を、複雑さがまだ不明である他の問題に標準的に削減することと同等であり、それら自体がNPにあるという証明に相当します。したがって、その場合、可能であれば、NP問題を検討中の問題に縮小しようとすると障害が存在することを示すことができます。そのようにすると、軽減は困難です。また、これらすべてにおいて事後選択はどのような役割を果たしますか？障害物が存在しないことを単に後選択することは可能ですか？私のアプローチと質問に正確な記述がないことを感謝し、ご容赦ください。

もう1つの例として、Pであることがわかっている問題Xを考えてみます。次に、その問題が多項式時間で解けることを知らなかったとします。その場合、次のアサーションを作成できる可能性があります。

Xの計算には障害物が存在しないため、クラスPにあると言えます。

ここからの問題は、障害が存在する場合でも、Xが多項式時間内にないことを示す障害の簡単な（計算による）発見です。しかし、逆に行くこと、つまり障害物がないことを見つけることは困難な作業です。

それはあなたが「障害物が存在しない」という意味に依存します。問題がではないというある種の証明証明書の一般的な意味での「妨害」を意味する場合、「妨害」の概念はまだあいまいであるため、質問にどのように答えるかはわかりません。マルマリー・ソホニの表現理論的な意味で特に「閉塞」を意味するのであれば、ここに答えがあります：$P$

この回答の目的のために、Mulmuley-Sohoni GCTプログラムを2つのステップに分割できます。

1. 関連付けと（またはお好みの複雑性クラス）代数多様とような方法で、場合に限り、あるの-PROJECTION。D のE のT VのP EとRのm個のV D のE のT V P E R M ⊆ V D 、E 、T、P 、E 、R 、M 、P 、DのEの$perm$$det$$V_{perm}$$V_{det}$$V_{perm} \subseteq V_{det}$$perm$$p$$det$

2. 実際にであることを示すために、表現理論上の障害物を見つけます。$V_{perm} \not\subseteq V_{det}$

（2）の含意は一方向にしか行きません（障害物の存在は品種の包含を意味しません）。したがって、は投影ではなく、表現論的障害物が存在しない可能性があります。したがって、この場合、障害物が存在しないことを証明するだけでは、が簡単であることを示すのに十分ではありません。一方、（1）では、複雑性クラスを含めるために代数多様体を含めることが必要かつ十分です。$perm$$p$$det$$perm$

[もちろん、多くの細部の上で省略されているでは-入力サイズへの依存、どのように複雑クラスについて話をするの代わりに、、実際の品種を含めることは、と等価であることをであることapproximableによるの-projections、...しかし、本質はまだ正しいです。]$P$$det$$perm$$p$$det$

私もこのように考えるのが好きで、予想とリンクしています。それはmentionnedさがあったりそこに（私はGoogleが好きではないことを数学記号でそれを参照することができますように私はこの推測についてのページを見つけるのに苦労しています）。$P=NP\cap co-NP$

「真の」答えの証明書を与えることができる場合、問題はNPにあります（例：TSP問題のハミルトニアンサイクルまたはSAT問題の有効な割り当て）。「False」の回答の証明書（例：SATの式が満足できないことの「証明」、ハミルトニアンサイクルの存在を妨げるグラフの不良カットなど）を与えることができる場合、それはco-NPです。 ..）

実際、それらはあなたが参照する「障害物」かもしれません。そして、この推測は言うことについてです：障害物が何であるかを知っているとき、NPにある問題は多項式です。

現在、「障害物」はさまざまな形をとることができます。マッチング問題（多項式）の場合、それはグラフの分割（完全なマッチングを認めるグラフのTutteの特性化を参照）であるか、または線形計画法（および削減可能なグラフ問題）についてFarkasのLemmaによって与えられた証明書である可能性がありますそれに）。それは実際には非常に多くのことになる可能性があるので、私は通常、この推測を一方向に「使用」します。障害物が見つからない場合、問題はNPハードであるとは推測しません。いくつかの障害は本当に見つけるのが難しいです...しかし、問題に対して複雑な多項式アルゴリズムがある場合、「理解可能な一連の障害がなければならないので、複雑なアルゴリズムを理解する方が簡単だ」と確信することがあります。

ええと...私の2セント:-)

ナサン