Craigの内挿を計算するためのアルゴリズムは何ですか？

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内挿を計算するアルゴリズムの調査はありますか？1つのアルゴリズムのみに関する論文はどうですか？私はほとんどに興味がある場合は、と、プラス補間を可能な限り小さくあるという制約。（2005年のMcMillanの論文を知っています。これは、量指定子を避けながら、補間関数を取得する方法を説明しています。） $A=\lnot p\land q$ $C=q$

背景： クレイグの補間定理（1957）場合と言い、（あるFOL）における式及びの式では、式が存在するようと。フォーミュラは、とクレイグ補間関数です $\vdash_{T_A\cup T_C}A\to C$ $A$ $T_A$ $C$ $T_C$ $B$ $\vdash_{T_A}A\to B$ $\vdash_{T_C}B\to C$ $B$ $A$ $C$ （又は、代替的定義での及び）。些細な補間とある、しかし私が欲しいの小さないくつかの合理的な定義については、補間を「小さな」（な構文サイズなど）。（補間関数には多くの用途がありますが、好奇心が強い場合のためにここに1つあります。） $A$ $\lnot C$ $\lnot p\land q$ $q$ $q$

動機：これは、検証条件生成による（非常に）増分プログラム検証で役立ちます。

— ラドゥ・グリゴア
ソース

さまざまな証明システムで与えられた証明から補間関数を見つけることの複雑さについては、さまざまな結果があります。いくつかの弱い証明システムでは、補間関数を効率的に見つけることができます（そして、証明システムが実行可能な補間プロパティを満たしていると言います）が、強力なシステムには、暗号でもっともらしい仮説を仮定してこのプロパティがありません。要するに、内挿を見つけるアルゴリズムは、

を示すために使用されている証明システムに依存します。

A \to C

$A \to C$

— カヴェー

私は何かが欠けているに違いない。自明な内挿

サイズは1です。どのように小さくできますか？

q

$q$

— エミルイェジャベクはモニカをサポートします

@EmilJeřábek：

と

はメタ変数であり、式を表します。たとえば、可能性があり

及び

、その場合には

良い補間である

p

$p$

q

$q$

p \equiv ((x = 1) \lor p r i m e (x))

$p\equiv((x=1)\lor{\it prime}(x))$

q \equiv ((x = 1) \land o d d (x))

$q\equiv((x=1)\land{\it odd}(x))$

f a l s e

${\bf false}$

\neg p \land q

$\lnot p\land q$ そして

、ので、

充足不能です。私のアプリケーションでは、

は古い検証条件、

はプログラムをわずかに編集した後に取得した検証条件です。

q

$q$

\neg p \land q

$\lnot p\land q$

p

$p$

q

$q$

— ラドゥグリゴー

そうですか。表記にかなり混乱しています。

が小文字で、

大文字である理由はありますか？

p, q

$p,q$

A, B, C

$A,B,C$

— エミールイェジャベクはモニカをサポートします

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博士論文を見てみましょうヒマンシュジャイナ教、充足検査を用いた検証、述語抽象化、およびクレイグ補間を。彼は、検証におけるアプリケーションに注目して、いくつかの基本的な手法のパフォーマンスを検討し、線形方程式とディオファンタインを含む式の補間に関する章を持っています。

彼は、私がBibelの接続方法として知っていること、および彼がGeneral Matingsと呼んでいるものに特に注目します。これらは、式推論ベースの充足可能性アプローチではなく、グラフベースです。一般的にそれらに興味があるなら、構文のないドミニク・ヒューズのかなり短い（11ページ）証明をお勧めします。

— チャールズ・スチュワート
ソース

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興味深いことに、カット除去と補間定理の間には関係があります。まず第一に、補間定理は、カット除去中に使用されるミックスルール除去の逆のように見えます。この排除は言う：

If G |- A and D, A |- B are cut-free proofs,  
then there is a cut-free proof G, D |- B

カットフリー証明に基づく補間定理の1つの形式は、次のように実行できます。その消去の逆さまのバージョン。G、D |-Bで始まり、G |-AとD、A |-Bを与えます。

If G; D |- B is a cut free proof,  
then there is a formula A (the interpolant) 
and cut free proofs G |- A and D, A |- B,  
and A uses only propositions simultaneously from G and D

意図的に、GとDの間にセミコロンを入れます。ここで線を引きます。これは、補間関数を提供するものとして見たいと仮定し、補間関数を使用して見たいと思う前提です。

入力がカットフリープルーフの場合、アルゴリズムの労力はカットフリープルーフのノード数に比例します。したがって、その実用的な方法は入力に線形です。カットフリープルーフの各プルーフステップで、アルゴリズムは新しい結合子を導入して補間関数を組み立てます。

上記の観察は、補間がGとDから同時に命題を持っていることだけを要求する単純な補間構造に当てはまります。可変条件の補間は、いくつかの可変ヒンディングも行う必要があるため、もう少しステップが必要です。

おそらく、カットフリー証明の最小性と内挿のサイズの間には関係があります。すべてのカットフリープルーフが最小というわけではありません。たとえば、均一校正はカットフリー校正よりも短いことがよくあります。均一証明の補題は非常に単純で、次の形式の規則適用です。

 G |- A       G, B |- C
 ----------------------
     G, A -> B |- C

BがCの証明に使用されていない場合は、回避できます。BがCの証明に使用されていない場合、G |-Cが既に存在するため、G、A-> B |-Cを弱めます。ここで述べたアルゴリズムはこれに注意を払いません。

宜しくお願いします

参照：クレイグの補間定理は、ケンブリッジ大学トムリッジのイザベル/ HOLで形式化および機械化され、2006年7月12日 http://arxiv.org/abs/cs/0607058v1

上記の参照は、シーケントの結論部分でマルチセットを使用するため、正確に同じ補間を示していません。また、含意を利用しません。しかし、それは私の複雑さの主張をサポートし、機械化された検証を示しているため、興味深いものです。

Jan、cstheoryでLaTeXスタイルの数学を使用できます。

— カヴェー

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この質問が尋ねられてから2年以上が経過しましたが、その間に、クレイグの内挿を計算するためのアルゴリズムについてより多くの論文が発表されました。これは非常に活発な研究分野であり、ここで包括的なリストを提供することは不可能です。以下の記事をかなりarbitrarily意的に選択しました。それらを参照する記事をフォローし、関連する作業セクションを読んで、風景の鮮明な画像を取得することをお勧めします。

充足可能性モジュロ理論における効率的な内挿生成、アレッサンドロチマッティ、アルベルトグリジオ、ロベルトセバスティアニ、ACM TOCL、2010年。

線形有理数算術、有理数および整数の差の論理、および不等式あたりの単位2変数の論理（UTVPI）の補間を扱います。
Satisfiability Modulo Linear Integer Arithmeticでの効率的な内挿生成、Alberto Griggio、Thi Thieu Hoa Le、およびRoberto Sebastiani 2010年。
内挿を生成するための組み合わせ方法、Greta YorshおよびMadanlal Musuvathi。2005年。

Nelson-Oppen理論の組み合わせの存在下で内挿を生成する方法を示します。
平等理論の地上補間、Alexander Fuchs、Amit Goel、Jim Grundy、Sava Krstic、Cesare Tinelli。2011年。
完全なインスタンス化ベースの補間、Nishant TotlaおよびThomas Wies。2012年。
分類子としての内挿、Rahul Sharma、Aditya V. Nori、およびAlex Aiken、2012年。

— ヴィジェイD
ソース