建設的な計量空間の不動点定理？

バナッハの不動点定理によれば、空でない完全な計量空間があれば$A$、一様に収縮する関数$f : A \to A$には一意の不動点$\mu(f)$ます。しかし、この定理の証明は選択公理を必要とする-私たちは、任意の要素を選択する必要があり∈ Aを反復開始するfはコーシー列を取得するには、からAを、F （）、F 2（）、F 3（a ）、$a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$。

1. 建設的分析では不動点定理はどのように述べられていますか？
2. また、建設的な計量空間への簡潔な参照はありますか？

私が尋ねる理由は、タイプがさらにメトリック構造を（特に）運ぶ、システムFのモデルを構築したいからです。建設的なセット理論では、Uが積、指数関数、およびUインデックス付きファミリで閉じられ、システムFのモデルを簡単に作成できるように、セットファミリを作成できるので、かなり便利です。$U$$U$$U$

建設的なウルトラメトリック空間の同様のファミリーを作り上げることができたら、とてもうれしいです。しかし、建設的な集合論に選択肢を追加することは古典的であるため、明らかに、不動点定理、およびおそらく他のものについてももっと注意する必要があります。

選択の公理は、「もの」のコレクションがあり、「もの」ごとに1つの要素を選択するときに使用されます。コレクションに1つだけがある場合、それは選択の公理ではありません。この場合、メトリック空間は1つしかなく、その中のポイントを「選択」しています。それは選択肢が、存在記号の除去、すなわちの公理ではありませんので、我々は仮説持っと、私たちは"聞かせて言うのx ∈ Aそのようにすることがφ （X ） "。残念ながら、人々はよく「$\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$ "これは、選択した公理の適用のように見えます。$\phi(x)$

参考のために、ここにバナッハの不動点定理の建設的な証明があります。

定理：居住された完全な計量空間上の縮約には一意の固定小数点があります。

証明。が居住された完全な計量空間であり、f ：M → Mが縮約であると仮定します。ので、fは収縮が存在αように0 < α < 1とD （F （X ）、F （Y ））≤ α ⋅ D （X 、Y ）のすべてのためのX 、Y ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$。

仮定及びvは点固定されているFを。その後、我々は、D （U 、V ）= D （F （U ）、F （V ））≤ α D （U 、V ）それはそれが次そこから0 ≤ D （U 、V ）≤ （α - 1 ）Dを（u 、v ）$u$$v$$f$

$$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$$ 、したがって d （u 、v ）= 0および u = v。これは、 fに最大1つの固定点があることを証明しています。$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$$d(u,v) = 0$$u = v$$f$

不動点の存在を証明するために残っています。ので生息しているが存在するのx 0 ∈ Mを。シーケンス（x i）をx i + 1 = f （x i）で再帰的に定義します。我々はそれを誘導によって証明することができますD （X I、X I + 1）≤ α I ⋅ D （X 0は、xは1）。これから$M$$x_0 \in M$$(x_i)$

$$x_{i+1} = f(x_i).$$ $d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$はコーシーシーケンスです。Mは完全であるため、シーケンスには y = lim i x iの制限があります。以来、 fは収縮され、それは均一に連続して、配列の制限に通うようになる： F （Y ）= F （LIM I X 、I）= LIM I F （X I）= LIM I X I + 1 = LIM I X $(x_i)$$M$$y = \lim_i x_i$$f$ したがって、 yは fの固定小数点です。QED $$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$$ $y$$f$

備考：

1. 「選択」と「x 0を選択」と言わないように注意しました。そのようなことを言うのは一般的であり、普通の数学者が選択の公理であるものとそうでないものを区別することができないという混乱を招くだけです。$\alpha$$x_0$

2. $u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. $(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. $M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. $\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. 最後に、次の固定小数点定理には建設的なバージョンがあります。

   • 完全な格子上の単調写像のためのKnaster-Tarski不動点定理
   • 完全な計量空間での収縮に対するバナッハの固定小数点定理
   • dcpos上のモノトーンマップのKnaster-Tarski固定小数点定理（Pataraiaにより証明）
   • 領域理論のさまざまな固定小数点定理には、通常、建設的な証明があります
   • 再帰定理は、固定小数点定理の形式であり、建設的な証明があります
   • チェーン完全ポゼット上の単調写像のKnaster-Tarski固定小数点定理には、建設的な証明がないことを証明しました。同様に、チェーン完全ポゼット上のプログレッシブマップのBourbaki-Witt固定小数点定理は建設的に失敗します。後者の反例は、有効なトポスから来ています。有効なトポスの序数（適切に定義された）では、セットを形成し、後続マップはプログレッシブであり、固定点はありません。ちなみに、序数の後続マップは、効果的なトポスでは単調ではありません。

今、それはあなたが要求したよりもむしろ多くの情報です。