事後選択によるインタラクティブな証明？

計算モデルMPostBQPをPostBQPと同じになるように定義します。ただし、事後選択と最終測定の前に多項式で多くのキュービット測定を許可します。

MPostBQPがPostBQPよりも強力であることを示す証拠を提供できますか？

MPostBQP [k]を定義して、最終測定を行う前に、複数ラウンドの測定と事後選択を可能にします。MPostBQP [1] = PostBQPおよびMPostBQP [2] = MPostBQPなどのようにインデックスを選択します。（更新：正式な定義を以下に示します。）

アーサー・マーリンのゲームを考えてみましょう。おそらく、この計算モデルでそれらをシミュレートできます。事後選択は、説得力のあるメッセージを生成するマーリンの役割を担うことができ、中間測定は、アーサーの公のコイン投げの役割を果たすことができます。この可能性は私に尋ねさせます：

AM [k] MPostBQP [k]はありますか？ $\subset$

これは確かにで知られており、MA PPと表示されます。表示するには、AM PPの場合にのみMPostBQP = PPを意味します。AMがPPに含まれていないオラクルに関連するオラクルがあるので、これは私の最初の質問に対して肯定的な答えを与える可能性があります。 $k=1$ $\subset$ $k=2$ $\subset$

最後に、多項式の多ラウンドの場合、

PSPACE MPostBQP [poly]はありますか？もしそうなら、それは平等ですか？ $\subset$

これは、（少なくとも私にとって）哲学的に興味深いものになるでしょう。なぜなら、「事後選択の魔術師」の「扱いやすい」クラスの問題には、すべてのPSPACE が含まれている（または含まれている）からです。

編集：私はMPostBQPの正式な定義を求められました。（以下を更新しました。）

MPostBQP [k]は、多項式サイズの量子回路均一なファミリが存在するのクラスで、入力すると、以下の手順では、場合は少なくとも確率で、場合は最大確率でtrueが生成されます。（ではない）に依存する可能性があるいくつかの選択を可能にする手順は、次のように定義されます。 $L \subset \{0,1\}^*$ $\{C_n\}_{n \geq 1}$ $x$ $2/3$ $x \in L$ $1/3$ $x \notin L$ $L$ $x$

手順：ステップ1.に対応する単一演算子を入力状態ます。最初のレジスタの長さはの長さで最大でも多項式であることに注意してください。ステップ2について場合：偶数である場合、（レジスタのサイズ所与最も多項式多くで、）最初のレジスタからの量子ビットの任意の所望の数を測定します。が奇数の場合、後選択により、最初のレジスタで選択された単一キュビットはとして測定され $C_n$ $\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$ $\left\vert0\cdots 0\right>$ $x$ $i = 1 \cdots k$ $i$ $i$ $\left\vert 0 \right>$ （もちろん、確率がゼロ以外であることを保証するため、後選択はもちろん有効です）。ステップ3.最後に、最初のレジスタの最後の量子ビットを測定し、を測定する場合はtrueを返し、それ以外の場合はfalse を返します。 $\left \vert 1 \right>$

MPostBQP [0] = BQP、MPostBQP [1] = PostBQP、およびMPostBQP：= MPostBQP [2]があります。AM [0] = BPP、AM [1] = MA、およびAM [2] = AMであるアーサーマーリンクラスをミラーリングしようとしています。

編集（3/27/11 5 PM）：このコンテキストでポストセレクションをどのように定義する必要があるかについては議論があるようです。明らかに、私は私の質問を簡単にしない定義を意味します！:)私が仮定した定義は次のとおりです。k番目のビットで後選択すると、k番目のビットがである部分空間に状態が投影されます $0$ 、正規化します。測定を行う前にポストセレクトを行うスキームでは、ポストセレクションが測定に置き換えられるスキームの条件付き確率を調べることにより、最終的な統計を取得できることがわかります。ただし、測定とポストセレクションが散在している場合、この特性は崩れると私は主張します。混乱は、この「条件付き確率定義」（私が一般化している特殊なケースで機能します）を、選択したばかりの「強制測定」定義ではなく、事後選択の定義として使用していることに起因すると思います。可換性の欠如のために秩序。これが役に立てば幸いです！

編集（3/27/11 9 PM）：ポストセレクションを純粋状態形式ですでに定義しました。Nielは、3キュービットの例について、私とは異なる密度行列形式の分析を行いました。犯人は、再び、ポストセレクションの定義です。次のように、密度行列設定で後選択を定義します。密度行列与えられた場合、それを分離可能な状態の混合として書き換えます。してみましょう私は上記で定義された純粋な状態の形式主義を使用して（いくつかの量子ビットの）事後の結果です。上の事後の結果を定義する。 $M$ $M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$ $\left\vert A_i \right>$ $M$ $\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$

これはより賢明な定義です。なぜなら、ポストセレクションの後で、すでに発生したイベント（測定）の統計を変更するという結果が得られないためです。つまり、は、私たちが「反転させた」コインの確率です。私たちが時間をさかのぼって、すでに起こっているコインフリップにバイアスをかけると言うのは、私には意味がありません。 $p_i$

EDIT（3/28/11 1 PM）：ニールは、私の定義で問題が理にかなっていると矮小化しないことを認めて-しかし、私はそれを呼び出すべきではないことを規定して事後。混乱の大きさを考えると、私は彼に同意する必要があります。それでは、「強制測定」を実行する、selectionとして定義したものを呼び出しましょう。おそらく、私が定義した複雑性クラスの名前も変更する必要があります（ "Post"が含まれないようにするため）、QMS [k]（quantum-measure-select）と呼びましょう。

— ショーンハーカー
ソース

MPostBQPをより正式に定義できますか？このクラスがいくつかのビットの結果に基づいて事後選択する力を持っていることを単に意味する場合、このクラスはPostBQPに含まれている必要があります。

— Robin Kothari、2011年

重要なアイデアは、一度に多くのビットをポスト選択することではありません。ロビンが指摘するように、これは役に立たないからです。測定と事後選択を散在させることです。これらを通勤することはできません。順序は重要です。例えば、それはPostBQPでの作業はその答えを測定し、しないだろう、その後 postselect。

— Shaun Harker

Nielの回答に関するコメントを参照してください。量子進化の後まで測定とポストセレクションの両方を延期することができます。私はすでにそれをやっています！ただし、測定値は単一ではないため、同じ引数は測定後のポストセレクションの順序も変更しないようです。特に、測定とポストセレクションは、通勤しない量子状態に対する非ユニタリー演算であると言っています。私が知る限り、損失なしにすべてのポストセレクションをすべての測定が終わるまで延期することはできません。

— Shaun Harker

@Shaun Harker：測定値と後選択が単一ではないという事実は、実際に通勤するかどうかについての詳細な情報を提供しません。おそらく、通勤しないと思う理由を特定できますか？

— Niel de Beaudrap

もつれのため。例を示します。状態

を準備する

。

選択し

。最初に最初のキュビットを測定し、次に3番目のキュビットでポストセレクトし、次に2番目のキュビットを測定して結果を求めると、等しい確率で

または

が得られ

。最初に3番目のキュビットをポストセレクトし、次に最初のキュビットを測定し、最後に2番目のキュビットを測定して結果を求めると、

を取得するよりも

取得が少なくなります。

α | 000 ⟩ + \sqrt{1 / 2 - α^{2}} | 011 ⟩ + \sqrt{1 / 2 - β^{2}} | 101 ⟩ + β | 110 ⟩

$\alpha\left\vert 000 \right> + \sqrt{1/2 - \alpha^2} \left\vert 011 \right> + \sqrt{1/2 - \beta^2} \left\vert 101 \right> + \beta\left\vert 110 \right>$

0 < α < β < 1

$0 < \alpha < \beta < 1$

0

$0$

1

$1$

0

$0$

1

$1$

— Shaun Harker

回答:

コメントから、ショーンは通常、ポストセレクションで理解されるものとは異なる何かを念頭に置いているようです。特定の事後選択の前に行われた測定の統計が、その後の事後選択によって変更されるべきではないことを意味することをこれで理解しています。これは、波動関数全体ではなく、特定の測定結果に対応する波動関数の各ブランチで正規化が実行される射影演算子の場合と似ています。

この場合、私とニールが他の回答で示した議論はもはや成立しません。確かに、それが容易に見られること MPostBQP [K]、以降MPostBQP することができBQP機として見ることができる PPオラクルにクエリを、ひいては MPostBQP。 $P^{PP[k]}\subseteq$ $[k]$ $k$ $P^{\# P}\subseteq$

それでは、重要な下限がありますが、上限についてはどうでしょうか？まあ、明らかに問題はPSPACEにありますが、もっとうまくできるでしょうか？実はできると思います。

MPostBQPでの計算は、次の形式の一連のレイヤーとして記述できます。確かに、これはMPostBQP [k] を公式化する別の方法かもしれません。これは、そのようなレイヤーで構成される計算です（これは、ポスト選択の数のみをカウントすることを意図しているShaunの定義とは少し異なります）。古典的な後処理の最終層。このMPostBQP [k]の定義は、より美的に満足のいく結果につながるため、以下で使用します。 $k$

以下は、証明の穴を修正するために元のバージョンから更新されています。

最初に、測定された最初のキュービットの測定結果を計算します（ポスト選択ではありません！）。任意の量子計算が唯一のアダマールゲートとトホリゲート、および振幅用いて発現させることができることを、この私たち最初の音を行うには特定の計算基礎状態のを出力にせいぜいの和として記述することができる用語、一意計算パスにアダマールゲート、それぞれの対応の総数です。明らかに、 $\alpha_w$ $|w\rangle$ $2^{H}$ $a_{j,w}$ $H$ $a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$ 。最終状態を取得する確率その後で与えられる。私たちは、1レッツ測定の合計確率を計算したい（すなわち、ポスト選択量子ビットが1である）後選択基準を満たす計算基底状態の集合をし、結果として0で測定された量子ビットのため、としましょう $|w\rangle$ $\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$ $S_0$ $S_1$ 選択後の基準を満たし、測定されたキュービットが1になる計算基底状態のセットになります。我々は定義することができおよび

π_{0}^{\pm} = \sum w \in S_{0} \pm \sum_{s i g n (a_{j, w} a_{i, w}) = \pm} a_{j, w} a_{i, w}

$\pi_0^\pm = \sum{w \in S_0} \pm \sum_{sign(a_{j,w}a_{i,w}) = \pm} a_{j,w}a_{i,w}$

π_{1}^{\pm} = \pm \sum_{w \in S_{1}} \sum_{s i g n (a_{j, w} a_{i, w}) = \pm} a_{j, w} a_{i, w} .

$\pi_1^\pm = \pm \sum_{w \in S_1} \sum_{sign(a_{j,w}a_{i,w}) = \pm} a_{j,w}a_{i,w}.$

この場合、ポスト選択キュビットのために1を条件1を測定する確率は次式で与えられる。これは、＃P oracleを4回呼び出すことで判断できます。これを使用して、確率でであるランダムビットを生成します。これは、量子測定と同じです。したがって、MPostBQP[1]はます。 $\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$ $b_1$ $X_1$ $BPP^{\# P[4]}$

次に、2番目の量子ビットの測定結果を計算します。これを行うために、我々は、同じ実行#Pの第一層としてではなく、最初の二つの層を構成して得られた回路上のクエリを、我々はポスト選択量子ビットの各々について1にpostselect場合だけでなく、上ののためこれは3つの量子ビットよりもむしろ1の状態にpostselectingあるが、これはに些細な変更であることを測定1.注意の出力クエリは、単にすべての3つの量子ビットが必要条件を満たしている場合のみ設定されているancillaを添加することにより、代わりにこのアンシラでポストセレクションを行います。これは、我々がラベル第2の測定キュビットの結果のための正しい条件出力確率、生成 $b_1$ $\# P$ $b_2$ 。#P oracle への呼び出しを8つ使用したことに注意してください。

私たちは、層になるように、反復的にこのプロセスを繰り返し我々はすべてのために1にpostselect 後、選択量子ビットを先行し、上の以前のすべての測定のための、および対応の結果ラベルマシン。合計では、これは必要とされてきた神託クエリを。 $j$ $j$ $b_{i<j}$ $P^{\# P}$ $b_j$ $4j$

従って我々はMPostBQP [K] という以前の結果と組み合わせて、 MPostBQP 、その意味 MPostBQP [K] 、したがってMPostBQP 。 $\subseteq P^{\# P[4k]}$ $P^{PP[k]}\subseteq$ $[k]$ $P^{PP[k]} \subseteq$ $\subseteq BPP^{\# P[4k]}$ $= P^{\# P}$

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

[改訂済み]質問に対するあなたの修正に基づいて、私の返答を変更しました。元の返答の内容は保持しましたが、短くしました。「シミュレーション」プロセスのより詳細な説明は置き換えられましたが、この投稿の編集履歴を表示することで確認できると思います。

ほとんどの人は、条件付き確率という意味で「事後選択」を理解します。実際、PostBQPに関するWikipedia記事の現在のバージョンでは、そのように説明しています。及び（一方は完全に陽性トレース非増加マップΦ、Φように適用される密度演算子の操作と見なす² 次に=Φ、及びトレースを再正規化する）を一度復帰この定義。

このポストセレクションの定義を前提として、ポスト選択を据え置き、適切な方法で同時に実行することにより、PostBQPアルゴリズムによってMPostBQP [ k ]アルゴリズムの定義をシミュレートできます。これは、アーロンソンの論文、量子コンピューティング、事後選択、およびクラスPostBQPを導入する確率論的多項式時間の3ページに、多かれ少なかれ明示的に示されています。

これは、一連のビットP ₁ 、 P ₂ 、...が後選択される（たとえば、1通常の状態で）ために、それらの条件1が真ん中にあることの間に違いがないことに注意することによって明示的に示すことができます。1これらのビットの値が暫定的に変更されない限り、計算とそれらの条件付けは計算の最後にあります。次に、それらのそれぞれを個別に後選択するのではなく、後選択の1前にそれらの論理ANDを計算してから、その結合で後選択を行うことができます。1。さらに、ANDの計算は、ビットの最後の変換とその事後選択の間の任意の時点で実行できます。これは、いかなる状態のプロパティの合同統計にも決して影響しません。

したがって、条件付き確率の観点から後選択の一般的な定義を使用すると、すべてのk > 0 に対してMPostBQP [ k ] = PostBQP になります。上記のコメントで述べたように、状態について説明する操作は、ベクトル—具体的には、測定結果の確率分布の各分岐で独立して状態ベクトルのくりこみを含む

—分野の多くの人々（特に実験家）が概念を説明するため、事後選択に対応します。密度演算子のマッピングに拡張すると、「物理的でない」プロパティが発生する場合もあります。ただし、これはノードが状態ベクトルでラベル付けされた決定木のようなものを構築するための可能な手段であるため、原則としてそれ自体が妥当な研究プロセスです。私はそのプロセスを「事後選択」とは呼びません。

[編集]整頓のために、計算された例を削除しました。この投稿の編集履歴を見ればわかると思います。

— ニール・ド・ボードラ
ソース

引数は不完全なようです。アーロンソンの論文のコメントは、ポストセレクションをユニタリー進化に散在させることによって力が得られないことを指摘しています。しかし、私はどちらもしていません。私はポストセレクションと測定を散在させています。この方法で否定的に私の質問に答えるには、測定後に電力を失うことなくポストセレクションを常に注文できることを証明する必要があります。（私にはまったく明らかではありません。）残りの回答は、各ラウンドで1ビットのみポストセレクトするようにクラスを定義した理由を説明するだけです。

— Shaun Harker

@ショーン・ハーカー：アーロンソンの論文があなたの質問に答えるかどうかにかかわらず、上記の私の答えはそうするべきです。事後選択の効果は、測定が「非条件付き」確率ではなく条件付き確率を実現できるようにすることです。ビット

での事後選択は、条件付き確率の条件の論理積を選択することと本質的に同じです。ビット

が痴漢されていない限り、条件が成立するかどうかの評価を延期するだけで、ビット

これらの条件付き確率は変化しません。

C_{j}

$C_j$

C_{j}

$C_j$

C_{j}

$C_j$

— Niel de Beaudrap

ポストセレクションと測定値を並べ替えても同じ統計が得られると主張しているようです。しかし、後選択の前にいくつかのビットを測定する場合、別の分布から測定し、後選択の後に同じビットを測定した場合に得られます。したがって、統計は同じではありません。

— Shaun Harker

統計を収集する目的で、目的の事後条件が満たされていない試行を単に拒否することにより、事後選択を物理的に（非効率的ではありますが）実装できます。事後条件が満たされているかどうかのステータス（たとえば、「この単一ビットは状態|1⟩にある」または「これらの5ビットはすべて状態|1⟩にある」）は、操作が行われない限り、測定順序の影響を受けません。結果を格納するビットを変更するために適用されます。トライアルが拒否されるかどうかは、PostBQPの測定順序とは無関係であるため、ポストセレクションを最後まで延期する場合があります。

— Niel de Beaudrap

このポストセレクションの特性は、測定前にポストセレクションを実行する場合にのみ適用されます。私が挙げた3つのキュービットの例は、すでにこれを示しています。これについて私が間違っている場合は、測定の順序と選択後の順序に応じて異なる統計を提供するこの例に直接反論して対応してください。

— Shaun Harker、2011年

MPostBQPの定義から、これは単なる仮装のPostBQPであるように見えます。測定値を並べ替えることができることを納得させるのではなく、PostBQP = PP（quant-ph / 0412187を参照）であることがわかっているため、MPostBQP = PPを証明する方が説得力があるかもしれません。これを証明するために、2つのタスクに分けます。

証明そのPP MPostBQP $\subseteq$ と
その証明MPostBQP PPを $\subseteq$

最初のタスクは、以来、自明であるPP = PostBQP = MPostBQP [1] MPostBQP $\subseteq$ 。2番目のタスクは、ここでの主な質問ですが、Quant -ph / 0412187で与えられているPostBQP = PPの証明に簡単に適応させることで答えられます（証明の概要については、PostBQPのWikipediaページを参照してください）。

以下は、PostBQP = PPの Wikipediaプルーフスケッチからの抜粋です。

MPostBQPの計算に対応する回路を、一連のユニタリゲートとポストセレクションとして書き出すことができます。一般性を失うことなく、キュービットがポストセレクションされると、それが再び作用されることは決してないと想定できます。このように、計算の終了時に得られる量子状態は次式で与えられます、どこ量子ビットのためのプロジェクターを意味し上に部分空間と $|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$ $P_i^1$ $i$ $|1\rangle$ は、基本ゲートに対応する行列です。一般性を失うことなく、追加のキュービットを犠牲にして、すべてのエントリが実数であると想定できることに注意してください。 $A^{ij}$ $A^{ij}$

$\{p_i\}$ $q$ $\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$ $\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$ $S_0$ $S_1$ $p_i = 1 \forall i$ $q=0$ $q=1$ $\pi(1) \geq 2\pi(0)$ $\pi_0 \geq 2\pi_1$ $\pi_0$ $\pi_1$ $\psi_w$ $\psi$ $w$ $i$ $j$ $A^{ij}$ $k$ $G$ $\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$

$\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$ $C>0$ $x \in L$ $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$ $x \notin L$

$\alpha = \{\alpha_i\}$ $F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$ $\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$

このようなPPマシンは、次のように定義できます。

$w$
$w \notin S_0 \cup S_1$ $1/2$
$\alpha$ $\alpha'$ $G$
$X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$
$w\in S_1$ $\frac{1+X}{2}$ $w\in S_0$ $\frac{1-X}{2}$

$\subseteq$ $k$

— ジョー・フィッツシモンズ
ソース

この議論は、単一の進化を伴う複数のポストセレクションを散在させても、PP以外には何も与えられないことを示しています。全くもって同じ意見です。電源を失うことなく、最後まで延期することができます。必要なのは1つだけです。この議論が私にそれ以上のことを教えているとは思いません。しかし、私の質問は別のことを尋ねます。それは、ユニタリー進化とそれに続く測定と選択のラウンドを考慮します（最終的な確率はこのディシジョンツリー法で計算されます）。したがって、これが私の質問に対応しているとは思えません。

— Shaun Harker、2011

言うまでもなく、私があなたの対応に費やした努力を（非常に）感謝していません。私が実際に得ようとしていたことを説明しているのを見たことがないだけです。

— Shaun Harker、2011

@ショーン：私には区別がつかない。測定値を追加するとパワーが変わることを示唆していますか？測定は常により大きなヒルベルト空間での単一進化と同等であるため、これは確かにそうではありません。

— ジョーフィッツシモンズ

@ショーン：私のポイントは、数学的には測定のある状況とない状況（ただし適切に拡大されたヒルベルト空間がある状況）は同じであることです。私は、いかなる種類の哲学的なポイントを作ろうともしていませんし、量子力学の1つの解釈を支持しているわけでもありません。測定値を追加しても、十分に確立された（数学）結果により、計算能力に違いはないことを指摘します。

— ジョーフィッツシモンズ

@ショーン：ポストセレクションを間違って実装しているようです。通常の方法で実装する場合（つまり、特定の基準に一致する結果のみを考慮した場合に得られる統計を考慮する）、Nielと私が示したように、PostBQP = MPostBQPになります。また、コメントで指定した状態の測定値の順序に関係なく、同じ統計が得られます。重要なのは、最初の量子ビットが等しい確率で0と1を与えないことです。（継続予定）

— Joe Fitzsimons、2011