固定パラメーターと近似アルゴリズムの関係

固定パラメーターと近似は、難しい問題を解決するためのまったく異なるアプローチです。彼らは異なる動機を持っています。近似は、近似解でより速い結果を探します。固定パラメーターは、指数関数またはkの関数とnの多項式関数に関して、時間の複雑さを持つ正確な解を探します。ここで、nは入力サイズ、kはパラメーターです。例。 $2^kn^3$

今、私の質問には、任意の上位があるか、近づいたり、彼らは全く問題のための任意のrelationship.For例がありません固定パラメータと近似との関係に基づいてバインドされた結果を下げると言われている、ハードいくつかのためには、c近似アルゴリズムまたはPTASを使用することとは無関係です。いくつかの参照を提供してください $P$ $W[i]$ $i>0$

— プラブ
ソース

関連、おそらく複製：？cstheory.stackexchange.com/questions/4906/...

— スレシュヴェンカト

@suresh venkatその質問は、NP完全パラメータと固定パラメータの理解の違いに関するものです。NP硬さだけで話す場合、独立したセットと頂点のカバーは文字通り同じですが、固定パラメーターの点で話すときは大きな違いがあります。頂点のカバーは良好なfptを持ちますが、独立したセットはW [1]ハードです

— プラブ

しかし、ここでは、近似と固定パラメーターの関係を探しています。

— プラブ

私はそれらの間に実際の関係はないと思いますが、固定パラメータを使用すると、たとえばビンパッキング（メイクスパンスケジューリング）でこの近似を見ることができます。。

— サイード

回答:

パラメーター化された複雑さと近似アルゴリズムの間には、いくつかの関係があります。

最初に、問題のいわゆる標準パラメーター化を検討します。ここで、パラメータは問題の最適化バージョンで最適化するものです（頂点カバー問題の頂点カバーのサイズ、ツリー幅問題のツリー分解の幅など）。具体的に頂点カバーを見てみましょう。頂点カバーの頂点数が線形のカーネルは、定数因子の多項式時間近似アルゴリズムを意味します。近似解に、カーネル化アルゴリズムによって強制的に解かれたすべての頂点、およびカーネル化されたインスタンスのすべての頂点を入れます。。一方、近似係数の下限は、カーネルのサイズの下限を意味します。たとえば、Unique Games Conjecture、Khot and Regev（JCSS 2008）任意の比率で頂点カバーの近似アルゴリズムを除外します。これは、最大頂点頂点カバーのカーネルも除外します。 $c<2$ $ck$ $c<2$

編集：前の段落のカーネル下限の議論は非常に非公式であり、私の知る限り、カーネルサイズのそのような下限が頂点カバーでも証明できるかどうかは明らかです。@Falkがコメントで指摘しているように、引数はほとんどの（すべての）既知のカーネルに当てはまります。ただし、カーネル化されたインスタンスの実行可能なソリューションが初期インスタンスの対応するソリューションとは異なる近似比を持つカーネル化アルゴリズムの存在を除外する方法はわかりません。

次に、PTAS対FPTASの問題があります。我々は内の溶液検索したい場合は最適からは、我々はによってパラメータ化することができ。次に、PTASはパラメーター設定のXPアルゴリズムに対応し、FPTASはFPTアルゴリズムに対応します。近似下限については、標準パラメーター化がW [1] -hardである問題のEPTASを期待できない場合があります。EPTASをすると、FPT時間で正確に問題が解決します。 $(1+\epsilon)$ $1/\epsilon$ $\epsilon=1/(k+1)$

最後に、FPT近似アルゴリズムは、FPT実行時間とパラメーターに依存する可能性のある近似比を持つアルゴリズムです。たとえば、Cliquewidth問題の標準パラメーター化には、近似比（Oum、WG 2005）のFPT近似アルゴリズムがありますが、Independent Dominating Setの標準パラメーター化にはFPT近似アルゴリズムがありません。FPT = W [2]でない限り、計算可能な関数パフォーマンス比（Downey et al。、IWPEC 2006）。参照（Marx、The Computer Journal 2008） $(2^{3k+2}-1)/k$ $g(k)$ $g$ FPT近似に関する調査。

— サージガスパー
ソース

@Gasper「2つの非周期的サブトーナメントが与えられた場合の最大非周期的サブトーナメントの検索」という質問をご覧ください。答えにはまだ疑問があります。あなたは、関連する問題で働いてきたように、あなたは私を助けることができる

— Prabu

Sergeの回答の最初の段落は正しいですか？近似可能性の下限は、カーネルのサイズの下限になりますか？同様の声明はニーダーマイヤーの本にありますが、この声明は正しいですか？

— XXYYXX

@XXYYXX：Sergeの答えで、彼は「Vertex Coverの線形数の頂点を持つカーネルは、定因子多項式時間近似アルゴリズムを暗示する」と短い証明を書いた。より正確には、彼の議論は、ある定数cに対してck頂点を持つカーネルが存在するかどうかを示し、その後、因子c近似アルゴリズムが存在します。逆のことは、因子c近似アルゴリズムが存在しない場合、ck頂点を持つカーネルは存在しないということです。

— 岡本芳雄

@Prabu：他の質問への回答についてコメントしました。@Yoshio：@XXYYXXの質問に答えてくれてありがとう。

— セルジュガスパーズ

実際、おそらくすべての既知のカーネル化について、議論が成り立ちます。ただし、最初に別の問題に還元され、そこでカーネル化され、次に頂点カバーに還元されるようなものが存在するべきではない理由はわかりません。そのため、結果のインスタンスは最初のインスタンスと頂点が一致しません。したがって、私たちが実際に示すことができるのは、サブグラフであるカーネルがおそらく2kより小さくならないということだけです。

— フォークHüffner11年

$FPTAS$ $PFPT$

$Q=(I_Q, S_Q, f_Q, opt_Q)$ $NP$ $Q$ $FPTAS$ $Q$ $PFPT$

$PFPT$

$NP$ $Q$ $PFPT$ $O(|x|^{O(1)}k^{O(1)})$ $|x|$ $x$

2つの近似クラスの別の特性化は、[2、Theorem 6.5]で提案されています。

問題は

$PTAS$ $ptas^{\infty}$ $XP^w$

$FPTAS$ $fptas^{\infty}$ $PFPT^w$

$(f)ptas^{\infty}$ $(XP)PFPT^w$ $\frac{1}{\epsilon}$

多項式時間近似スキームとパラメータ化された複雑さ。J.チェン他 / Discrete Applied Mathematics 155（2007）180 – 193。
多項式時間近似の構造。EJ van Leeuwen et al。テクニカルレポートUU-CS-2009-034、2009年12月。

— オレクサンドル・ボンダレンコ
ソース