計算理論における自然問題とは何ですか？

P vs NP問題に関するスティーブンクックの論文[1]で、彼は次のように述べています[2]。

実現可能性論文：自然問題には、多項式時間アルゴリズムがあれば実現可能なアルゴリズムがあります。

私の質問は、「自然な問題」によって彼（または一般的に実際には1つ）が正確に何を意味するのかということです。自然な問題について話すことは十分にありふれているようですが、私はまだ定義を見つけることができていません。何かが足りないようです。ここで私が考えているいくつかの可能な答えがあります：

最初の可能な答え

クックは彼の論文で「自然」は説明されなければならないと述べています。彼は、「一般に、パラメーターがクラスであるクラスを考慮しません。たとえば、属kの表面に埋め込むことができるグラフのセット、k > 1。」[3]さて、最初に、これは何と言っているようです自然」とは、それが何であるかということではありません。しかし、すべての問題が自然であるかどうかにかかわらず、これが自然ではないすべての問題を完全に説明している場合、これで自然を定義できます。（しかし、「一般的に」という修飾子は、これは自然ではない問題の十分かつ必要な説明ではないことを示唆しています。）

「パラメータを持つクラス」は、固定パラメータの扱いやすさを指していると思います。これは、実行可能性が強制されるように入力が制限されている問題を意味します。したがって、ナップザックが運ぶことができる重みを固定すれば、多項式時間アルゴリズムでナップザック問題[4]を解くことができます（ただし、一般に多項式時間の解はありません）。これを手にして、「自然」であるということは、多項式時間で解くことができない問題から多項式時間アルゴリズムを強制するような方法で問題が制限されない（「人為的に」制限されている）ことを意味します。

これがクックの「自然」の概念を理解する正しい方法であるかどうか私が確信していない理由は、「自然」の資格がここで何をしているのかが完全にわからないためです。「自然」を落とすと、「多項式時間アルゴリズムを持っている限り、問題は実行可能なアルゴリズムを持っている」ということになります。しかし、これは完全に合理的であるように見えます。ナップザック問題には多項式時間アルゴリズムがないため、実行可能なアルゴリズムはありません。knapsack-with-fixed-paramater-tractabilityには多項式時間アルゴリズムがあるため、実行可能なアルゴリズムがあります。両方の説明は、実行可能なアルゴリズムの問​​題が何であるかという概念と一致しているようです。

私はこれがクックが何を意味するのかを理解するための最良のガイドかもしれないと考えています。私はまた、この自然の概念がこのStackExchangeの質問によって捉えられていると考えています。[5}

しかし、もう1つあります。

2番目の可能な答え

ウィリアムガスアーチは、「問題を複雑なクラスに分類する」[6]で、「自然問題とは何かという文字どおりの議論」を行うと述べています[7]。論文の最後に、[8]対話形式のやり取りがあり、1人の講演者がこう言っています。

「問題が自然になるのは何ですか。一方で、私はPにいないことだけを目的として問題を構築しませんでした。それで、ばかげたお尻の問題ではありません。それから、自然のレベルに上がるのですか？」

したがって、Gasarchが言っていることは、Pにないと言えるように意図的に構成されていない問題がある場合、それは自然であるということです。したがって、少し独創的な解釈をすると、Gasarchは少なくともCookと整合性のある何かを言っているように見えます。一方、クック氏は、パラメータがなければ問題は自然だと言っています。しかし、単なる一貫性は定義を生み出しません。

3番目の可能な答え

ウィキペディアの「適切な問題」[9]のエントリでは、ジャックアダマールの適切な問題の概念の定義が提示され、適切な問題は「自然な問題と見なされる可能性がある」と述べられています。これらの問題によってモデル化された物理プロセスがあるという点で」それで、問題が物理的なプロセスをモデル化している場合に限り、自然な問題でしょうか？

ウィキペディアによると、アダマールの資格は、（i）解決策が存在する、（ii）解決策がユニークである、（iii）解決策の動作が初期条件に伴って連続的に変化する、というものです。これは他の2つの定義とは異なるようです。私の感覚では、「自然」はまったく同じ方法で使用されていません（特に、問題が物理プロセスをモデル化している場合に限り、問題が自然であるという解釈に同意する場合）が、この質問に関する私の研究ではそれがあり、連絡先があります。

だから私の質問は：自然な問題とは何ですか？これらの答えのいずれか、またはそれらのいくつかの組み合わせは正しいですか？私が見逃している他の答えはありますか？ありがとうございました。

1. 「The Statement of the Problem」（2006年）は、Clay Mathematicsにオンラインで掲載されました。タイトル：「P vs NP問題」、http：//www.claymath.org/sites/default/files/pvsnp.pdf
2. p。３
3. p。4
4. https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#0.2F1_Knapsack_Problem
5. Pで最も難しい既知の自然問題？自然な問題はこの説明に従うが、kが最大であることを制限しないと私は考える。
6. https://www.cs.umd.edu/~gasarch/papers/classcomp.pdf
7. p。2。
8. p。47-8、セクション25
9. https://en.wikipedia.org/wiki/Well-posed_problem

明確にするために、それは形式化可能であることを意味していません。これは定理ではなく、世界についての観察です-ここで「自然」が主観的であれば問題ありません。類推すると、誰かが「統合は芸術であるのに分化は力学である」と言った場合、彼らは「力学」と「芸術」を形式化してステートメントを証明するようにあなたを招待しておらず、彼らは一般的な見方を伝えようとしています。ですから、ここの木々のために少し森を見逃しているかもしれません。[脚注]

著者のポイントは何ですか

あなたの提案に従い、「自然」という言葉を落としてみましょう：

実現可能性論文（最初のドラフト）：問題には、多項式時間アルゴリズムがあれば実現可能なアルゴリズムがあります。

$n^{1000}$$n^{1000}$

したがって、著者は、現実世界で実際に解決したい問題や、複雑さのない理論の過程で「自然に」遭遇するその他の問題に関して、論文が依然としてかなり正確であると感じています。そこで彼は、これらの問題を「自然な」ものと呼び、実現可能性の論文を修正してみましょう。

自然とは何か

確かに、実際に一般的に発生する問題は自然と見なされます。最短経路、並べ替え、編集距離、ルート検索、巡回セールスマン、ナップザック。

確かに、複雑さの結果を証明するために特別に考えられて定義され、特定のクラスを参照する問題は自然なものではありません。たとえば、「この文字列は、チューリングマシンによってk状態でn時間生成できますか」のようになります。

線形プログラミングのように、あまり明確ではないものもありますが、あまり心配する必要はありません。多くのアルゴリズムと複雑さの問題を調べ、一般的な考えに同意するかどうか、または矛盾していると思われる例を見つけるかどうかを確認します。

（いずれにせよ、あなたが疑っているように、私は「適切に配置された問題」のルートは間違いなく間違っていると思います。）

[脚注]私はあなたがそれを形式化しようとするのをやめさせるつもりはありません。あなたが意図していると思っているだけで。

大まかに言えば、問題の定義が循環的であるかどうかです。

• 人為的な問題は、そのクラスの基準を満たすように構築された問題です。

• 自然な問題は、クラスの基準を満たすためにその構築方法に依存しません。

Ladnerの構造は、NPIが存在する場合、NP中間体として知られています。

NPIの自然問題の候補を証明することで証明できる $P \subsetneq NP$

注意：そのような候補者を証明しようとする幸運。これはアクセスしやすいアプローチのように見えるかもしれませんが、自然に開発してきた証拠にいくつかの障壁を。