バラバラなコミュニケーションの複雑さを一方向にランダム化

宇宙が大きくなる可能性がある場合の、（古典的な）一方向のバラバラなコミュニケーションの複雑さのリファレンスを探しています。アリスとボブの両方にサイズユニバースから選択されたサイズセットがあり、ボブはそれらのセットの交差が空であるかどうかを判断したいとします。私は、エラーのPROBたい、言います。 $m$ $U$ $<1/3$

標準の $\Omega(m)$ ビットの下限と双方向通信の複雑さに関するいくつかの作業を見つけることができますが、一方向のより厳密なものへの参照はありますか？

編集：私は私的ランダム性（公衆コインではない）モデルに興味があることを指定する必要がありました。

— ラファエル
ソース

セットはランダムに選択されますか、それともコミュニケーション戦略だけですか？

— mjqxxxx

ランダム化とは、アリスとボブがランダムなビットを使用することが許可されているという事実を指します。

— ラファエル

一方向通信（アリスがメッセージをボブに送信し、ボブが回答を出力する）または「同時」通信（アリスとボブがそれぞれメッセージをレファレンスに送信する回答をアナウンスする）を本当に検討していますか？前者の場合、パブリックとプライベートランダム性は同じなので、以下の回答（つまり、Mihaiのブログ）が問題を解決したようです。

— Noam

O (m \log m + \log U)

$O(m \log{m} + \log{U})$

min ((\binom{U}{m}), m \log m)

$\min(\binom{U}{m}, m\log{m})$

もちろんを意味し。

Ω (min (\log (\binom{U}{m}), m \log m))

$\Omega(\min(\log{\binom{U}{m}}, m\log{m}))$

— Raphael

回答:

答えはです。パブリックコインモデルでは、（上記のように）ます。上記でYuvalが示唆したように、プライベートコインモデルの上限には、追加のビットのみが必要です K＆Nブックの定理3.14を参照）ここで、は入力のエンコードの長さです（）。プライベートコインモデルのの追加の下限については、の場合に集中するだけで十分です（他の項目はすべて異なるように修正できるため）。等価関数 $\Theta(m\log m + \log\log |U|)$ $\Theta(m\log m)$ $O(\log n)=O(\log m + \log\log |U|)$ $n$ $n=m\log|U|$ $\Omega(\log\log |U|)$ $m=1$ $\log |U|$ -bit文字列、そのプライベートコインの複雑さはその中で対数です（K＆Nの例3.9）。

— ノーム
ソース

ありがとう、これは完璧ですが、と関係によっては、と比較する必要がないので、よりも小さくなり。極端な場合、場合、アリスはあまり言う必要はありません。

\log (\binom{U}{m})

$\log {\binom{U}{m}}$

m \log m

$m\log{m}$

U

$U$

m

$m$

U = m

$U=m$

— Raphael、

はい、これは大きな（少なくとも）の場合です。それ以外の場合は、Mihaiの投稿で言及されている下限が失敗します。

U

$U$

m^{1 + ϵ}

$m^{1+\epsilon}$

— ノーム

これは質問を解決します:-)

— Marcos Villagra 2011年

ところで、私はいつもあなたに尋ねたかったのですが、なぜ一般的な下限はなぜですか K＆Nの本に含まれているは？それは定理3.9のようなものを自動的に意味します。

\log \log | X | \leq R (f)

$\log \log |X| \le R(f)$

— domotorp

がより小さいユニバースサイズに対してタイトであることは既知/自明ですか？たとえば、ます。

\log (\binom{U}{m})

$\log{\binom{U}{m}}$

U = m \log m

$U = m \log{m}$

— Raphael

ラウンドの数に関係なく、ディスジョイントネスの下限は（セット交差の確率的通信の複雑さを参照してください。SIAMJ.離散数学第5巻、第4号、545-557ページ（1992年11月））。 $\Omega(n)$

1方向の場合、クレマー、ニサン、およびロンは、任意の与えられた、であり、がランダム化された1-双方向通信の複雑エラーで、およびであるVC次元の。次に、ます。しかし、実際にはDISJには厳しい下限があります。それは（Mihai Patrascuのブログを参照）。 $f$ $R_\epsilon^1(f)=\Omega(VC(f))$ $R_\epsilon^1(f)$ $f$ $\epsilon$ $VC(f)$ $f$ $VC(DISJ)=n$ $\Omega(n\log n)$

— マルコス・ビヤグラ
ソース

Mihai Patrascuのブログによると、は、ユニバーサルハッシュ関数を使用すれば、大規模なユニバースでも実現可能です。これは、アリスとボブにランダム性の共有ソースがある場合に意味があります。しかし、独立したソースがある場合、アリスは使用しているハッシュ関数をボブに伝える必要はありませんか？それにはどのくらいのスペースが必要ですか？

O (n \log n)

$O(n\log n)$

— mjqxxxx 2011年

パブリックランダムネスがプライベートランダムネスと同じであることを示すトリックがあります。チャーノフバウンドを使用して、[十分な」成功確率に近似する多項式サイズのサンプル空間（可能な入力の数の対数）が存在することを示しますすべての入力; アリスはこれらのポイントの1つを選び、その対数サイズのインデックスをボブに送信します。この場合、このトリックは直接適用されません（無限に多くの入力があるため）。

— Yuval Filmus、2011年

ありがとう！質問では私的なランダム性を指定するべきでした。今修正中です。

— Raphael、

ANY関数のプライベートコイン（一方向および双方向）のランダム化された複雑さは、少なくともしたがって、たとえば、あなたの場合、少なくとも、これはが小さい場合はとなり、より良い下限を与えることができます。この結果は、CCに関するYaoの独創的な論文で言及されています。その証明は、修士論文の補題3.8とその周辺にあります。http： //www.cs.elte.hu/~dom/cikkek/szakdolgozat.pdf $\log \log |\text{size}|$ $\log \log {U \choose m}$ $\log \log U$ $m$

もちろん、これは単なる下限です。おそらく、それらはような一致する上限です。 $m + \log \log U$

— ドモータープ
ソース