Cerny予想に関連する予想-反例/参照リクエスト

チェルニー予想は有する任意の同期オートマトンという記述である$n$状態が最大で長の同期ワードを持つ$(n-1)^2$。同期ワードの長さの現在の最適な上限は$O(n^3)$です。単語が2つの状態を同じ状態にする場合、その単語によって2つの状態がマージされるとしましょう。ポンピングレンマタイプの引数は、同期オートマトンでは、任意の2つの状態を最大$n^2$長さのワードでマージできることを示しています。次の推測が正しいと仮定します。

推測。$k$状態のサブセットには、長さが（たとえば）1ワードで結合できる2つの状態が含まれています（最大で$n^2/k$。または、より一般的には、大きな状態のセットには、長さ$o(n^2)$ワードでマージできる2つの状態が含まれます。

次に、同期ワードを構成するための次の戦略を検討できます。すべての$n$状態から始めます。上記の推測により、2つの状態をマージする短い単語があり、これを同期する単語の始まりにします。すべての状態から始まるこの単語でDFAを実行でき、最大で$n-1$最終状態のセットを取得します。これらの最終状態を新しい開始状態として、これを繰り返します。これを十分な回数繰り返した後、最終的な状態は1つだけになります。明らかに、上記の予想を考えると、最短の同期ワードの長さについては、$O(n^3)$よりも良い境界があります。

上記は、次の質問の動機になります。

1. この推測に対する既知の反例はありますか？Cernyの元の構造（18ページを参照）は、推測のステートメントを満たしています。
2. 同様のアイデアが調査されるリファレンスを提供していただけませんか？

質問2に対する部分的な答えを見つけました。この講義の最後の10分間で同じ考えが議論されています。